发展经济与学习数学携手

渠敬明

现实生活中存在着很多可以通过列一元二次方程来解决的实际问题. 解答这类题的关键是在理解题意、分析数量关系的基础上，正确找出应用题中数量间的相等关系，把生活中的语言转化为代数式，从而建立数学模型 .

一、 求增长（降低）类

例1 （2012·四川乐山）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销. 李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售.

（1） 求平均每次下调的百分率；

（2） 小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：

方案一：打九折销售；

方案二：不打折，每吨优惠现金200元.

试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由.

【分析】（1） 对于两次降价问题，一般是降价后的价格=降价前的价格×（1-下调的百分率）2.设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.2元，列出一元二次方程求解即可.（2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果.

解：（1） 设平均每次下调的百分率为x，

由题意，得5（1-x）2=3.2.

解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8.

因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1= 0. 2=20%.

答：平均每次下调的百分率是20%.

（2） 小华选择方案一购买更优惠.

方案一：3.2×0.9×5 000=14 400（元），

方案二：3.2×5 000-200×5=15 000（元）.

∴小华选择方案一购买更优惠.

【点评】列一元二次方程解增长（或降低）率问题时，关键就是要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系. 如果在原数的基础上增长或降低两次，那么列出的方程是一元二次方程.

如求增长率：若原数为a，平均增长率为x，

则第一次增长后为a（1+x），

第二次增长后为a（1+x）+a（1+x）x=a（1+x）（1+x）=a（1+x）2.

增长率关系一般形式为：a（1+x）n=b，同理降低率问题的一般形式为：a（1-x）n=b. 其中x为增长（或降低）百分率，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量，n为增长（或降低）的次数，要注意灵活运用其固定的等量关系.

二、 市场营销类

让我们领悟商场中的玄机.

例2 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部. 月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0. 5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元.

（1） 若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为______万元；

（2） 如果汽车的销售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）

【分析】（1） 根据“若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部”，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：[27-0.1×（3-1）]元.

（2） 设需要售出x部汽车，由题意可根据当0≤x≤10，以及当x>10时，分别讨论得出每部汽车的销售利润.

解：（1） 若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出汽车的进价均降0.1万元/部；该公司当月售出3部汽车，每部汽车的进价：27-0.1×2=26.8（万元）.

（2） 设需要售出x部汽车，每部汽车的利润为：28-[27-0.1（x-1）]=（0.1x+0.9）（万元）.

①当0≤x≤10时，

（0.1x+0.9）x+0.5x=12，

整理，得x2+14x-120=0，

解这个方程，得x1=6，x2=-20（不合题意，舍去）.

②当x>10时，

由题意，得x（0.1x+0.9）+x=12，

整理，得x2+19x-120=0，

解这个方程，得x1=5，x2=-24（不合题意，舍去）.

因为5<10，所以x1=5舍去.

答：需要售出6部.

【点评】求营销问题中的单价、销售量和总利润三个量中任何一个量时，需要把实际问题转化为数学模型，每件利润×售出总量=总利润（其中：每件利润=每件销售价-每件成本价）.我们要抓住题目中的关键词，把生活中的语言转化为代数式，分清变化前后销售总量之间对应的变化关系，然后依据数学模型建立有关方程. 题目千变万化，依然有规律可循，紧扣题意，百变不离其中.

三、 工艺装裱

例3 晓芳的妈妈绣了一幅长80 cm、宽60 cm的十字绣的矩形风景画. 晓芳想帮妈妈把这幅十字绣的四周镶一条相同宽度的金边，然后再装裱在一个矩形画框中，如图1所示，最外圈深色部分是画框. 如果要使整个画框的面积是6 300 cm2，当画框四边宽度均为2厘米时，求金边的宽度？

【分析】设金边的宽度是x cm，截取题目中关键数据，根据“绣了一幅长80 cm、宽60 cm的十字绣的矩形风景画”，“整个画框的面积是6 300 cm2”，“画框四边宽度均为2 cm”，可列方程求解.

解：设金边的宽度是x cm，

（80+2+2+2x）（60+2+2+2x）=6300，

即：x2+74x-231=0，

解这个方程，得x1=3，x2=-77（不合题意，舍去）.

答：金边的宽度是3 cm.

【点评】本题考查理解题意的能力，关键在于设出金边的宽度，表示出画框的长和宽，以面积作为等量关系列方程求解.

例4 装裱师傅小鹏要给一幅图画四周加上等宽的金边，装裱制成挂图，已知挂图长为100 cm，宽为50 cm，图画的面积是整个挂图面积的72%，你知道图画的长和宽吗？

【分析】本题首先要明了图画面积和挂图面积的关系. 如果设金边宽为x cm，依据面积关系可以列出方程，即（100-2x）（50-2x）=100×50×72%，解出金边的宽度，即可求得图画的长与宽. 注意结果一定要符合题中的实际意义.

解：设金边宽为x cm，

则（100-2x）（50-2x）=100×50×72%，

即x2-75x+350=0，

解这个方程，得x1=5，x2=70（不合题意，舍去）.

∴图画的长是100-2x=90 cm，宽是50-2x=40 cm.

【点评】本题灵活运用图画周围等宽的特征，间接表示图画的长与宽，然后根据装裱后的挂图面积与原图画的面积关系建立数学模型，从而得出一元二次方程.

运用现代数学的方法解决生活中的实际问题，首先要通过数学模型构建的方法建立等量关系，这种建模方法对解决复杂问题能够起到事半功倍的效果.

小试身手

1. 黄金周长假推动了旅游经济的发展. 下图是根据国家旅游局提供的近年来历次黄金周旅游收入变化图.

（1） 根据图2中提供的信息. 请你写出两条结论；

（2） 根据图中数据，求2002年至2004年的“十一”黄金周全国旅游收入平均每年增长的百分率（精确到0.1）.

2. 在一幅长8分米、宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②），如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽.