求阴影部分面积的常用方法

2014-10-29 14:28仇金祥
初中生世界·九年级 2014年10期
关键词:半圆六边形扇形

仇金祥

求阴影部分面积是圆中的重要题型之一,也是中考中的常见题型. 下面以中考题为例,举例说明解决这类问题的常用方法与技巧,供同学们学习时参考.

一、 和差法

阴影部分的面积可以看成是几个规则图形面积的和或差.

例1 (2014·湖北荆门)如图1,在?ABCD中,以点A为圆心,AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C,交AD于点E,延长BA与☉A相交于点F. 若的长为,则图中阴影部分的面积为______.

【解析】图中阴影部分的面积可以看作是△ACD的面积与扇形ACE的面积之差. 如图1,连接AC,∵DC是☉A的切线,∴AC⊥CD. 又∵AB=AC=CD,∴△ACD是等腰直角三角形,∴∠CAD=45°. 又∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠CAD=∠ACB=45°. 又∵AB=AC,∴∠ACB=∠B=45°,∴∠FAD=45°. ∵的长为,∴=,解得:r=2,∴S阴影=S△ACD-S扇形ACE=×2×2-=2-.

二、 分割法

把不规则的图形的面积分割成几个规则图形的面积来计算,进而得到问题的答案.

例2 (2014·四川广安)如图2,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,上底AD为,以对角线BD为直径的☉O与CD切于点D,与BC交于点E,且∠ABD为30°. 则图中阴影部分的面积为______. (结果保留π)

【解析】连接OE,过点O作OF⊥BE于点F. ∵∠ABC=90°,AD=,∠ABD=30°,∴BD=2,AB=3,∠DBC=60°.

∵OB=OE,∴△OBE是等边三角形,∵BO=OD=,∴BE=,OF=. ∵CD为☉O的切线,∴∠BDC=90°,∴∠C=30°,∴BC=4,S阴影=

S梯形ABCD-S△ABD-S△OBE-S扇形ODE=---π=-π.

三、 割补法

将不规则图形的面积进行割补转化为规则图形的面积来计算.

例3 (2009·四川凉山州)将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′,使A、B、C′在同一直线上,∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=4 cm,则图3中阴影部分面积为______cm2.

【解析】将△A′BC′中的阴影部分割下后补到△ABC上,则阴影部分的面积为两个扇形面积之差. 两个扇形的圆心角都是120°,半径分别为2 cm和4 cm,所以阴影部分面积=×16×π-×4×π=4π(cm2).

四、 平移法

通过图形的平移,将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算.

例4 如图4,两个半圆中,小圆的圆心O′在大☉O的直径CD上,长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切,那么图中阴影部分面积等于______.

【解析】按照常规思路,图中阴影部分的面积等于两个半圆的面积之差,但两个半圆的半径都不知道,而在图4中很难发现两个半圆的半径与弦AB的关系,为此,将图4中的小圆“动”起来——沿直径CD将☉O′向右平移,使O′与O重合,从而得到图5,此时图中阴影部分的面积不变. 设弦AB与☉O′相切于点E,连接OE、OB,则OB2-OE2=

AB2,所以S阴影=π(OB2-OE2)=π×BE2=2π.

五、 等积法

将不规则图形的面积转化为与它等积的规则图形的面积来计算.

例5 (2014·四川绵阳)如图6,☉O的半径为1 cm,正六边形ABCDEF内接于☉O,则图中阴影部分面积为______cm2. (结果保留π)

【解析】图形中的阴影部分是不规则图形,面积较难计算. 连接BO、CO、AO,注意到六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形,☉O的半径为1 cm,∴AB=BC=CO=BO=AO= 1 cm,△ABO、△OBC都是等边三角形,∴AO∥BC,因此,图中阴影部分的面积=扇形OBC的面积,即S阴影=S扇形OBC==(cm2).

六、 方程法

通过构造方程(组)的方法来计算不规则图形的面积.

例6 如图7,正方形的对角线长为16,求以各边为直径的半圆所围成的叶形图案的总面积.

【解析】如图7,由正方形的对角线的长为16,可知正方形的边长=8,设一个叶子的面积为x,一个空白部分的面积为y,则有:4x+4y=128,

2x+y=16π.解得4x=64π-128,即叶形图案的总面积为64π-128.

求阴影部分的面积方法多,技巧性强,在解题时要因地制宜,灵活选用上述方法.

小试身手

1. (2014·重庆)如图8,△OAB中,OA=OB=4,∠A=30°,AB与☉O相切于点C,则图中阴影部分的面积为______.(结果保留π)

2. 如图9,PA,PB切☉O于A,B两点,若∠APB=60°,☉O的半径为3,则阴影部分的面积为______.

3. 如图10,半圆的直径AB=10,P为AB上一点,点C、D为半圆的三等分点,则阴影部分的面积等于_______.

4. (2014·山东泰安)如图11,半径为2 cm,圆心角为90°的扇形OAB中,分别以OA、OB为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为( ).

A.

-1 cm2 B.

+1 cm2

C. 1 cm2 D. cm2

5. (2014·山东烟台)如图12,正六边形ABCDEF内接于☉O,若☉O的半径为4,则阴影部分的面积等于______.

6. (2014·浙江宁波)如图13,半径为6 cm的☉O中,C、D为直径AB的三等分点,点E、F分别在AB两侧的半圆上,∠BCE=∠BDF=60°,连接AE、BF,则图中两个阴影部分的面积之和为______cm2.

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