“滚动的硬币”实验方案

王磊

【实验课题】滚动的硬币.

【实验背景】通过本次实验活动，帮助大家系统地理解《圆》这章的知识，感受生活问题数学化的过程.学会用系统思维思考动态几何的特点.经历对硬币滚动的轨迹和硬币移动的距离规律的研究，发展动手操作能力，提高数学思维水平与解决问题的能力.

【实验目的】探究硬币滚动过程中的规律.

【实验难点】探索硬币在两折线交汇处的运动轨迹及在不同轨道上运动的轨迹.

【实验准备】一元硬币（半径为r，以下相同）若干，实验活动单，常用数学作图工具.

【实验过程】

活动一：熟悉硬币的滚动规律

1. 将一枚硬币沿着直线l滚动一周，观察它滚动时圆心的运动的轨迹和移动的距离.

思考：（1） 硬币滚动时圆心的运动的轨迹是什么？硬币移动了多长路程？如果将这条直线变为线段，那么这条线段至少需要多长？

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（2） 研究硬币移动的路程时，有怎样的观测技巧？

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【活动说明】从最简单的规律开始研究，为之后的实验活动打下基础.要弄清硬币滚动时圆心运动的轨迹和自身的移动路程之间的关系.

活动二：探究简单的硬币滚动规律

1. 围绕一条折线滚动

如图1，一枚硬币（设为☉O）在折线AB-BC上滚动，观察它滚动时圆心运动的轨迹和圆心经过的路径的长度.

【思考】

（1） 圆与AB、BC是什么关系？

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（2） ☉O的圆心移动的路程等于线段AB与线段BC的长度之和吗？

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（3）若∠O1BO2=n°，则该角度会对硬币圆心移动的路程有什么影响？

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【活动说明】把直线改为折线，逐步增加探究的深度，通过观察、思考、探究、交流和总结的过程，锻炼自主学习和语言表达能力，为下一环节的学习做铺垫.

2. 围绕一个三角形滚动

如图2，若硬币围绕一个三角形滚动一周，圆心经过的路径的长度是多少？

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3. 围绕一个多边形滚动

如图3，若硬币围绕一个多边形（设周长为C）滚动一周，圆心经过的路径的长度是多少？

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【活动说明】由折线改为多边形，从而使情况由简单到复杂，由特殊到一般，遵循了人的认知规律.

4. 将两枚同样大小的硬币放在桌子上，固定其中一个，而另一个则沿着其边缘滚动一周，观察它滚动时圆心运动的轨迹和路径长度，你有何发现？

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【活动说明】轨道改变为圆形时，也可以看成是当多边形的边数n趋近于无穷大时的图形， 如下图5所示.

活动三：拓展延伸，开阔视野

问题：☉O围绕的轨道改为下列情形，你能发现其中的数学奥秘吗？

（1） 若半径为r的☉O沿着半径为2r的☉A滚动一周（如图6所示），这时圆心运动的路径长度是多少？

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（2） 若半径为r的☉O沿着7个半径均为r的圆连贯而成图形的边缘滚动一周，这时圆心沿着怎样的轨迹运动？路径长度是多少？

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（3）若半径为r的☉O沿着由6 个半径均为r的圆拼成图形的边缘滚动一周，这时，圆心沿着什么样的轨迹运动？路径长度是多少？

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【活动说明】“活动三”主要探索硬币在不同轨道中滚动的情况，是对“活动一”和“活动二”的总结和提高.运用前面的探究结论，结合等边三角形的知识，“活动三”的问题可迎刃而解.通过三个难度逐步加大的实验，进一步锻炼了同学们的动手能力和思维能力，加强了小组成员间的合作意识.

（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）