足球中的数学

王亮声

精彩的2014年巴西足球世界杯一定让同学们难以忘怀，虽然遗憾没有中国队的身影，但也有许多中国元素。比如，比赛用足球“桑巴荣耀”（Brazuca）就是“中国制造”。

也许不少同学认为，足球比赛就是体育运动，但你是否想过，足球比赛中有着许许多多的数学！

一、足球表面的数学

世界杯比赛用足球是专用特制的，各届不一，2014年巴西世界杯比赛用的足球“桑巴荣耀”（Brazuca），意指“巴西精神”，它是由6片“十字形”材料拼接成的。一粒标准的英式足球就远超6片，1970年的比赛用球——电视之星（Telstar）是由黑色五边形和白色六边形共32块拼成的。

二、足球表面有几块皮子？

有一种足球由32块黑白相同的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，一块白皮周围有3块黑皮，每块黑皮周围有5块白皮，请问缝制一个足球需要多少块白皮，多少块黑皮？

方法一：从五边形和六边形的边数着手。

分析：一个正五边形有5条边，一个正六边形有6条边，从图中可以发现，每个正六边形中恰好有3条边与正五边形的边重合，而正五边形的每条边都与正六边形的边重合。因此，正六边形的总边数为正五边形的总边数的两倍。

解：设足球中有x块白皮，则有（32-x）块黑皮，所以有

6x=2×5（32-x），解得x=20。

当x=20时，32-x=12。

方法二：从五边形和六边形的顶点个数出发。

分析：从图形中可以发现，顶点的相交处总是两个六边形的顶点和一个五边形的顶点，因此，六边形的顶点总数为五边形的顶点总数的两倍。

解：设足球中有x块白皮，则有y块黑皮。所以

可列方程组为x+y=32，6x=2×5y。 解之得x=20，y=12。

方法三：从五边形与六边形的排列特点出发。

三、小组出线中的数学

材料：按照世界杯足球赛小组赛的规则，每个小组4个队进行单循环比赛，每个队有3场比赛，小组共有6场比赛。每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局时两队各得1分。小组赛结束后，积分最高的两队出线。如果积分相同，则净胜球多的球队胜出。

问题：积多少分的小组肯定出线或基本出线？

分析：设甲、乙、丙、丁四个队，并设甲队积3分，则甲可能平3场，也可能1胜2负。

若是前一种情况，则有：甲平乙，甲平丙，甲平丁，积3分。乙平甲，乙平丙，乙负丁，积2分。丙平甲，丙平乙，丙负丁，积2分。丁平甲，丁胜乙，丁胜丙，积7分。甲可能出线。

若是后一种情况，则有：甲胜乙，甲负丙，甲负丁，积3分。乙负甲，乙负丙，乙胜丁，积3分。丙胜甲，丙胜乙，丙胜丁，积9分，首先出线。丁胜甲，丁负乙，丁负丙，积3分。甲以净胜球多而可能出线。

结论：我们认为四队单循环赛的理论出线最低分为3分。以上是球队积分对于能否出线的理论分析，这个 分析没有考虑球队的实力。