非线性负阻尼极限环型角位移振荡运动定量分析

蒋增辉，宋 威，贾区耀，陈 农

( 中国航天空气动力技术研究院，北京 100074)

0 引 言

由气动俯仰阻尼力矩导致飞行器动不稳定的研究通常限于线性情况，近年来国内外学者提出非线性负阻尼极限环类型的气动阻尼有可能导致飞行器动不稳定的观点［1-7］。在作者所从事的风洞自由飞试验中多次观察到不同外型飞行器模型在超声速/高超声速小迎角状态下有可能产生具有如下特征的锥形振荡运动［8-9］，其表现为：

(1) 在小迎角状态下( 如0°或配平角附近) 受激励很快达到5°、6°的振幅；

(2) 当进入均匀流场的试验模型处于小振幅初状态下，很快被激励，而处于大振幅初状态下趋向收敛。

风洞自由飞试验虽然较易观察到试验模型处于小振幅状态下很快被激励，处于大振幅初状态下趋向收敛，但因记录时间的长度有限，难以对有限振幅、极限环型的被激励的锥形振荡运动作出定量评估，并给出该气动模式下的气动参数表达式。而飞行记录的时间较长，故有可能从飞行记录的数据对非线性负阻尼极限环型的被激励的锥形振荡运动作出定量的评估。因此本文依据某飞行器的两次飞行试验记录作角位移振荡运动特性的定量分析，进而分析出现锥形振荡运动的该飞行器角运动θ、Ψ 是否属于自激振荡引起的非线性负阻尼极限环型振荡运动，从而论证非线性负阻尼极限环类型的气动阻尼是否能够导致飞行器动不稳定。

1 由飞行记录给定的俯仰( θ)、偏航(Ψ)角位移-时间关系

一个无控、轴对称外型的超声速飞行器，飞行中记录了固连于飞行器质心的坐标系ox1y1z1沿3 个坐标轴方向的角速度ωx，ωy，ωz，则固连坐标系与地面坐标系之间欧拉角的角速度有如下关联方程［10］：

若已知t=t0时θ=θ0、Ψ=Ψ0、γ=γ0，则对方程组(1) 积分可获得θ-t，Ψ-t 与γ-t。飞行记录中t0时的初值θ0，Ψ0，γ0可能不准，但当讨论轴对称体关于θ、Ψ 的振荡运动特性时，θ0，Ψ0的值对结果影响不大。

对于半固连于飞行器质心坐标系的测量系统，飞行记录获得的ωx，ωy，ωz与地面坐标系之间的欧拉角形式与式(1) 类似，其方程形式更为简单。

图1 和2 所示为某超声速轴对称外型无控飞行器的两次飞行记录的俯仰θ -偏航Ψ 角位移时间历程。该时间历程由半固连于飞行器质心坐标系的测量系统获得，并且去除了重力对飞行轨迹的影响，因此在飞行时间段内，若飞行器维持在XOY 平面内飞行，则俯仰角θ、偏航角Ψ 可视同于迎角α 与β。轴对称体可以近似地认为γ 值对θ、Ψ 方向运动的影响是可略去的。

图1 第一次飞行记录的俯仰( θ) -偏航( Ψ) 时间历程Fig.1 θ-Ψ curves of the first flight

由图1 和2 可以看出： 在起始的头几秒，如图1( a) 、图2( a) 所示，θ 和Ψ 的振幅均很快被激励，且θ-Ψ 轨迹图形无规律； 随着时间的推移，振幅继续增大，飞行记录的θ-Ψ 时间历程图如图1( b) 、图2( b)所示近似为椭圆。考虑该飞行器飞行中振幅增大可能是由自激振荡引起的非线性负阻尼极限环类型的气动阻尼导致，因此采用下面的微分方程来描述θ 和Ψ 的角位移振荡运动：

图2 第二次飞行记录的俯仰( θ) -偏航( Ψ) 时间历程Fig.2 θ-Ψ curves of the second flight

2 非线性负阻尼极限环型振荡运动的振幅外包络线参数拟合解

常系数非线性微分方程(2) ，采用近似解的多尺度方法、平均法都能得到如下关系式：

设解θ=α( t) cos( ω0t+B( t) ) =α( t) cosφ( 这里

若在φ 的积分周期2π/ω0内，α( t) 、B( t) 近似是几乎不变的量，则可得近似解

设t=t0时，α( t0) =αt0，对方程(5) 积分得

类似地，关于Ψ 可得到： Ψ = β( t) cos( ω0t + A( t) ) =β( t) cosφ1，设t=t0时，β( t0) =βt0

α( t) 、β( t) 是θ -t 或Ψ -t 振幅的外包络线，给出飞行记录曲线θ-t 或Ψ-t 中振幅的峰值α( ti) 、β( ti) ( i=0，1…约10 个点) ，则可通过对非线性组合的待定参数C11，αt0，Cm1或C22，βt0，Cn1作出拟合解，如图3、4 所示。可以看到，两次飞行记录的俯仰方向图3( a) 、4( a) 和偏航方向的图3( b) 、4( b) ，拟合结果回代值与观测值一致性均很好，表明拟合结果可信。数值结果见表1 和2。

图3 非线性负阻尼极限环型振荡外包络线观测值与拟合值( 第一次飞行数据)Fig.3 Comparison of observations and fitting results for outside envelope curve of non-linear negative damping limit cycle oscillation for the first flight

图4 非线性负阻尼极限环型振荡外包络线观测值与拟合值( 第二次飞行数据)Fig.4 Comparison of observations and fitting results for outside envelope curve of non-linear negative damping limit cycle oscillation for the second flight

3 非线性负阻尼极限环型气动阻尼力矩的参数辨识

当θ-Ψ 时间历程处于椭圆状态时( 图1( b) 和图2( b) 所示状态) ，根据θ -t、Ψ -t 的时间历程( 又称θ、Ψ 的观测值) ，从运动方程(2) 出发，作气动参数辨识，得到θ0及C00，Cm1，C11； 或Ψ0及C00，Cn1，C22；再由辨识求得的待定参数，计算出θ-t 或Ψ-t，称为回代值，与飞行记录观测值对比，如图5 和6所示。可以看到，两次飞行记录的俯仰方向图5( a) 、图6( a) 和偏航方向的图5( b) 、图6( b) ，辨识结果回代值与观测值一致性均很好，表明辨识结果可信。数值结果见表1 和表2。

由于包络线拟合对振荡峰值的误差较为敏感，而C11作为非线性阻尼项的高次项对于峰值的选取则更为敏感一些，因此由表1 和表2 可以看到，除第一次飞行数据结果中外包络线拟合得到的C11与辨识结果稍有差异( 分别为380.735 与518.416) 外，由第一次、第二次飞行记录参数辨识获得的Cm1，C11或Cn1，C22与外包络线公式(6) 、( 7) 出发作参数拟合获得的Cm1，C11或Cn1，C22数值均较为接近。这说明采用两种方法做定量分析所得的结果是一致的，因而对角位移振荡运动所作的定量分析结果是可信的。4 个参数Cm1、C11、Cn1和C22数值可由表1 和表2 中数据确定，代入方程( 2) 中即可得到气动阻尼力矩的典型表达式。由于定量分析得到的参数Cm1、C11、Cn1和C22全部大于零，且C00＜0，因而根据第1 节中所述的判据可知，角运动θ、Ψ 确实是属于自激振荡引起的非线性负阻尼极限环型振荡运动，因而该锥形振荡运动是由非线性负阻尼极限环型的气动阻尼力矩所激励。这说明非线性负阻尼极限环类型的气动阻尼确实能够导致飞行器动不稳定。

表1 第一次飞行数据及拟合、辨识结果Table 1 The first flight record and comparison of fitting and parameter identification results

表2 第二次飞行数据及拟合、辨识结果Table 2 The second flight record and comparison of fitting and parameter identification results

图5 第一次飞行数据飞行记录与参数辨识回代值Fig. 5 Comparison of flight record of the first flight and parameter identification results

图6 第二次飞行数据飞行记录与参数辨识回代值Fig.6 Comparison of flight record of the second flight and parameter identification results

4 结 论

从飞行记录的俯仰角θ、偏航角Ψ 的观测值θ -t、Ψ-t 出发，采用气动参数辨识，及由观测值θ-t、Ψ-t 的外包络线通过参数拟合两种分析方法，取得了非线性负阻尼极限环型气动阻尼力矩典型表达式Cm1(1 -C11)或Cn1(1 -C22)中的气动参数Cm1、Cn1以及C11、C22，证明该类锥形振荡运动是典型的非线性负阻尼极限环型的振荡运动。进而证明非线性负阻尼极限环类型的气动阻尼能够导致飞行器动不稳定。至少在一段可用平均动压值近似描述的采样区间内，阻尼气动模式量化的表达式Cm1(1 -C11)可为地面仿真、优化控制提供。

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