初中数学最值种种

简秀华

1.运用点到直线的距离

例1（2009年陕西）如图1，在锐角三角形△ABC中，∠BAC=45°，AB=42，∠BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是.

解延长BM交AC于点H，当BH⊥AC且MN⊥AB时BM+MN最小，此时由题意知∠BAD=∠CAD，AM=AM，∠AHM=∠ANM=90°，

所以△AHM≌△ANM，

所以MH=MN，BM+MN=BM+MH=BH.

又由AB=42，∠BAC=45°得BH=4，

即BM+MN的最小值为4.

2.运用三点共线或两点间直线段长最小

例2（2011年山东滨州）如图2，等边△ABC的边长为6，AD是AC上的中线，M是AD边上的动点，E是AC边上一点.若AE=2，则EM+CM的最小值为.

解在AB上取点F，使AE=AF=2，由对称性有ME=MF，

EM+CM=FM+CM≥CF，

M为AD上的动点，当C、M、F共线时取等号.

作CH⊥AB于H，CH=62-32=27，AF=2，

所以CF=27，故EM+CM的最小值为27.

例3 如图1，已知圆锥底面半径为10 ，母线长为40 .若一只小虫从 点出发绕着圆锥侧面爬行到母线 的中点 ，请求出它所走的最短路程.解：图2为圆锥的侧面展开图，在点 与点 的连线中直线段最短.从点 、点 分别作底边的垂线，垂足分别为 、 ，由 是母线 的中点知

——直线上动点到同侧两点的距离之和最小的模型，其本质也是两点间直线段长最小，考查该模型应用在中考命题中经久不衰.3.运用同圆中所有弦长中直径最长，中点弦长最短等

例3（2013年陕西）如图3，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是弦AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点.若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值是.

解连接OA、OB，根据圆周角定理得∠AOB=2∠ACB=60°，所以△AOB为等边三角形.⊙O半径为7，有AB=7.由题意EF=12AB=3.5，当GH为⊙O的直径时，GE+FH取最大值，最大值为14-3.5=10.5.

4.运用一次函数性质

表格式的一次函数应用题考查较多，由于有表格，暗示也明显；无表格的一次函数应用题暗示相对弱些，更有利选拔.

例4（2011年石家庄）今年春季，我国云南、贵州等西南地区遇到多年不遇的旱灾，“一……