热电子热机最大功率运行时的效率特性研究

杨德成，张 龙

（1．海装驻九江地区军事代表室，江西 九江 332007;2．海装驻哈尔滨汽轮机厂有限责任公司军事代表室，黑龙江 哈尔滨 150046）

能量选择性热电子热机（简称ESE热机）是一种以电子作为工质的微型能量转换系统，其性能的独特之处在于如果穿过该系统能量过滤器的电子的能量调节到某一特殊的能量点处，ESE热机的效率可以达到卡诺效率值[1～2]，正因为这一独特性能及其对纳米材料热电装置、半导体固态热电和热离子装置实际电子机系统性能提升具有重要的指导意义，热电子热机系统的热力学性能的研究也吸引了众多学者的目光[3～7]。

近年来，能量系统功率最大时的效率（简称EMP）特性已经成为其最优性能相关研究的热点问题之一。EMP特性是揭示系统能量转换机制和效率的一个非常有效的指标。对于各种理想能量系统，其效率最大时的输出功率往往为零。因此研究其EMP特性更具实际意义。Novikov[8]、Chambadal[9]、Curzon和Ahlborn[10]等学者最早分别注意到了这一问题，并得到了著名的Curzon-Ahlborn（CA）效率。CA效率的导出突破了卡诺效率在实际能量系统应用中的局限性，奠定了有限时间热力学理论[11~18]的根基，同时也使得人们对于热机系统功率最大时的效率这一性能指标给予了更多的关注。

研究微型能量系统的EMP特性，有助于揭示微型能量系统的本质机理和共性特征，明晰微型能量系统与宏观系统在能量转换机理上的异同点。Humphrey[2]研究了单通道热电子热机在最大输出功率模式时的EMP特性；Luo等[19]研究了低温ESE热离子热机的EMP特性，并讨论了能量谱宽度对EMP特性的影响。本文拟基于单谐振通道的内可逆能量选择性电子热机模型，导出热电子热机在中间运行模式和最大功率运行模式下的功率和效率的解析表达式，系统分析热机在这两种模式下的EMP特性，讨论过滤器中心能量位置和能量宽度对EMP特性的影响，确定EMP的性能界限，从而进一步揭示热电子机系统能量转换的机理和特点。

1 单通道热电子热机模型

图1 单谐振通道热电子热机模型

图1给出了一维系统中包含单谐振通道的内可逆热电子热机模型，它由两个无限大的电子源和两个能量过滤器构成。两电子源有不同的温度TC和TH以及不同的化学势μC和μH。两电子源彼此热绝缘，只通过两个有限宽度的能量过滤器进行电子交换，过滤器仅允许特定能量范围内的电子在两源之间自由传输。图中，ER为过滤器的中心能量，ΔE为过滤器允许通过的电子的能量宽度，eV0为施加于高温电子源的偏转电压。

对定温和定压的开放系统，由热力学第一定律，同时联立Landauer方程[20]，可以得到过滤器中心能量ER附近很小能量范围δE内电子通过过滤器时高温电子源放出的热量以及低温电子源吸收的热量：

式中，

h为Planck常数，

fC和fH分别为低温和高温电子源的费米分布

式中，

kB为Boltzmann常数。

由文献[2]可知，对于中心能量为ER、宽度为ΔE的过滤器，电子机系统存在两种不同的运行模式：中间模式和最大输出功率模式。

2 中间模式下的EMP性能特性

所谓的中间运行模式是热电子热机介于最大输出功率和可逆运行这两种状态之间的一种运行方式[2]。在中间模式下，只有能量在中心能量ER附近宽度ΔE范围内的电子才能够通过过滤器进行传输。相比前两种理想状态，中间模式对于电子机系统的设计和运行运行来说更具实际意义。由图1可知，在中间模式下，如果系统作为热机工作，过滤器中电子的能量并非要求全部高于E0，只需保证中心ER>E0能量即可。

由式（1）和式（2），可得中间模式下高温电子源的放热率和低温电子源的吸热率分别为

联立式（4）和式（5）可得中间模式下ESE热机的功率Pi为

在式（4）至式（6）的基础上，通过引入以下积分函数

可以得到单位时间放热量Q觶H和功率Pi的解析表达式，分别为

式中rH+/-=（ER±ΔE/2-μH）/（kBTH），rC+/-=（ER±ΔE/2-μC）/（kBTC），f（x）=ln（x）·ln（1+x），f（x）=PolyLog（2，-x）为 Nielsen方程。

由式（10）和式（11）可得到中间模式下内可逆ESE热机的效率为

式中，τ=TC/TH为电子源的温比。式（11）和式（12）为中间模式下电子机的主要性能参数。在给定TH、μH、μC等参数的情况下，中间模式下单谐振通道热电子热机的功率Pi、效率ηi是过滤器中心能量ER、能量宽度ΔE和低温电子源温度TC的函数。

由式（11），通过方程组[（坠P/坠ER）TC=0；（坠P/坠TC）ER=0]、[（坠P/坠ER）ΔE=0；（坠P/坠TC）ER=0]、[（坠P/坠ER）TC

=0；（坠P/坠TC）ΔE=0]可以求解出 ESE热机功率最大时 ΔE、ER和TC的最优值，将其代入式（12）可以得到功率最大时的效率特性。由于式（11）存在非线性的指数项，对功率求最大值所得到的方程组无法得到解析解，因此必须通过数值计算进行求解。取TH=0.5k、μC/kB=12k、μH/kB=10k，本节将通过数值计算进一步分析单通道ESE热机中间模式下的EMP特性以及设计参数的影响。

图2 最大功率Pi，max与能量宽度ΔE的特性关系

图3 中间模式下EMPηi，EMP与能量宽度ΔE的特性关系

图2 和3分别给出了单通道ESE热机的最大功率 Pi，max和 EMPηi，EMP随能量宽度 ΔE 的特性关系。由图可知，最大功率Pi，max随ΔE的增加而单调增大，而功率最大时的效率ηi，EMP随ΔE的增加而单调减小。在ESE热机系统中，只有能量高于E0的电子通过过滤器传输才有助于系统对外做功。ΔE增大时，更多能量高于E0的电子通过过滤器在电子源之间传输，使得电子机整体的输出功率增大。最大功率和EMP的不同变化特征表明在实际设计和运行中，ΔE需要合理取值以得到功率和效率折衷优化。

图4 中间模式下EMP与卡诺效率的特性关系

为了更进一步分析电子机系统的EMP特性，图4给出了单通道ESE热机中间模式下的EMP特性与卡诺效率η（CηC=1-TC/TH）的特性关系，如图4中曲线1所示。图4中曲线4的点划线代表CA效率ηCA=，曲线5代表卡诺效率。通常，ESE热机过滤器中心能量和能量宽度的取值都在特定范围之内，系统在中间模式下运行，曲线1就代表了ESE热机功率最大时效率的一般特性。对比曲线1和4可以发现，卡诺效率ηC较小（TC较大）时，ηEMP高于热机的 CA效率 ηCA；而当 ηC增大（TC减小）时，ηEMP会小于ηCA。图4中同时给出了费曼棘轮模型[21]和随机热机模型[22]功率最大时的效率特性曲线，如图中曲线2和3所示。通过对比可以发现，中间模式下电子机的EMP特性与费曼棘轮和随机热机EMP特性的变化趋势不同，随着ηC的增加，曲线1与曲线2和3会相交，且不同类型EMP的大小会发生变化，这一差异体现了ESE热机与其他热机在运行机制上的差别。

由图2可知，功率最大时的效率ηi，EMP随的增加而减小。这意味着当在[0，∞]之间变化时，电子机的EMP会取得相应的上限和下限值[19]。当过滤器能量宽度 ΔE→0时，电子机的 EMP 达到上限值 ηi，EMP+。此时，过滤器中心能量ER附近很小能量范围内电子通过过滤器时高温和低温电子源热量的变化由式（1）和式（2）确定。此时，热机的功率和效率分别为

由式（13），令dPi/dER=0可得到功率最大时的值满足以下关系

式中 rH/C=（ER-μH/C）/kBTH/C。式（15）无法求得解析结果，通过数值求解出功率最大时的ER值，将其代入式（14），即可得到此时的EMP特性，即中间模式下ESE热机EMP特性的上限值ηEMP+。

3 最大功率模式下EMP性能特性

由文献[2]可知，在能量范围E0

在最大功率模式下，ESE热机的输出功率和效率分别为[2]

式中 r0、a和函数 h（x）分别定义为

给定TH、μH、μC等参数时，最大功率模式下电子机的功率和效率是r0和卡诺效率ηC的函数。

由式（16），令dPm/dr0=0可以得到功率最大时的最优r0值，其为如下方程的解[2]：

求解式（19）可得的取值为r0=1.144 6。将r0=1.144 6代入式（17）即得到功率最大时的效率的表达式[2]

图5 ESE热机EMP与卡诺效率的特性关系

式中b=1.068 5。由式（20）不难看出，在该模式下，功率最大时的效率特性只与热源温比有关，而与系统的其他设计参数无关。这一特性表明，最大输出功率模式是不同与中间模式的一种极限运行方式，而中间模式是一种常态化的运行方式。

通过数值计算，可以得到最大输出功率模式下的EMP随卡诺效率变化的特性曲线，如图5中的曲线2所示。由前文的分析可知，EMP随ΔE的增加而减小，因此，最大功率模式下的EMP，即图5中的曲线2就代表了电子机EMP的下限取值范围。电子机常态化运行，也就是在中间模式运行时，其EMP总要高于下限值ηEMP-。

到目前为止，我们确定了电子机在中间模式下的EMP一般特性线，如图5中曲线1。同时，基于能量宽度的变化特性和运行模式情况，得到了EMP的ηEMP-。ηEMP+和ηEMP-两条特性线所围成的区域即是ESE热机功率最大时效率的有效区域。为便于对比，图5中还给出了文献[23]所得到的低耗散卡诺热机功率最大时效率的上下取值界限，如图5中曲线4和5所示。由图可知，ESE热机的下限值ηEMP-仅在卡诺效率ηC较大（TC较小）时才高于低耗散卡诺热机EMP的下限值，这与文献[19]的结论相似。而电子机的一般特性线变化范围较大，与低耗散卡诺热机的EMP特性有着明显的差异。

4 结束语

本文基于单谐振通道的内可逆热电子热机模型，导出了热电子热机在中间运行模式和最大功率运行模式下输出功率和效率的解析表达式，系统分析了热机在这两种模式下的功率最大时的效率特性，得到了EMP的一般特性关系曲线，并与费曼棘轮和随机热机的EMP特性进行了比较；确定了过滤器中心能量位置和能量宽度对EMP特性的影响特点，发现ESE热电子热机功率最大时的效率都随过滤器中心能量和能量宽度的增加而减小，并由此确定了EMP的上下取值界限。分析表明电子机EMP特性具有独特性，变化范围较较广。

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