压缩式封隔器三级胶筒多重非线性力学分析

党黎明，刘巨保，李治淼，王 艳

（东北石油大学 机械科学与工程学院，黑龙江 大庆163318）

压缩式封隔器三级胶筒多重非线性力学分析

党黎明，刘巨保，李治淼，王 艳

（东北石油大学 机械科学与工程学院，黑龙江 大庆163318）

分析了压缩式封隔器胶筒在井下分层压裂的密封性能。针对不同硬度胶筒组合和胶筒材料、几何及双重接触三重非线性问题，根据力学基本理论，采用微元法建立胶筒变形齐次非线性方程组。将胶筒变形分为自由变形、单向约束变形和双向约束变形3个阶段。从而推导出各个阶段不同硬度胶筒组合的变形公式，利用载荷迭代法求解胶筒在不同轴向力下的接触压力和压缩量。为多级胶筒选择和封隔器设计提供理论依据。

压缩式封隔器；胶筒；非线性；接触压力；压缩量

目前大多数油田处于开发中后期，必须通过分层压裂使非均质、多油层的油田稳产及增产，分层压裂对现有封隔器提出了更高的要求。以前对于封隔器胶筒密封性能的研究主要集中在数值仿真和室内试验，例如通过有限元软件对压缩胶筒坐封进行模拟，提出了增加紫铜保护罩来提高密封性的结论［1-3］；设计胶筒与套管摩擦力测试实验装置，测量不同轴向压力下胶筒与套管间的摩擦力等［4-5］。目前理论研究主要集中在单胶筒和相同硬度胶筒上，将胶筒变形过程分为自由变形和约束变形2个阶段，未考虑胶筒大变形的复杂过程，且无法计算不同硬度多胶筒坐封时胶筒任意部位的变形和接触压力［6-9］。因此，本文采用力学基本理论和橡胶大变形本构关系，推导了封隔器多组不同硬度胶筒坐封过程中压缩量和接触压力计算公式，利用微元法和载荷迭代法描述了胶筒自由变形、单向约束变形和双向约束变形3个阶段的变形情况。为封隔器多组胶筒结构设计与工程施工提供了理论依据。

1 封隔器胶筒工作原理与计算模型

封隔器在井下坐封时，胶筒承受由水力而产生的轴向载荷，使其轴向压缩导致径向扩张来封隔环空。本文以3个不同硬度胶筒组合为例进行研究，图1为胶筒承载变形过程。

图1 胶筒变形过程

当封隔器下入套管后，胶筒与中心管无间隙，与套管之间存在环空间隙，如图1a所示；当胶筒在水力作用下将产生轴向压缩变形，随着水力压力增加，首先是中胶筒外侧最先接触到套管且内侧离开中心管，如图1b所示；接着胶筒逐步与中心管、套管接触，如图1c所示；最后胶筒与中心管、套管的接触压力越来越大，直至达到完全密封状态，如图1d所示。

根据胶筒受力变形过程，建立三级胶筒计算模型，胶筒处于中心管与套管之间。3个胶筒半径都为R1，mm；弹性模量分别为E1、E2和E3，总高度为H1，mm；与中心管和套管摩擦因数分别为f1和f 2（一般取0.3），如图2a所示。随着压力p不断增加，胶筒与中心管和套管分别产生接触压力pi和p0，这些接触压力随胶筒高度发生变化，并在接触位置伴随有摩擦力，如图2b所示。

图2 胶筒计算模型

胶筒坐封压力由井下静压ps和封隔器n个活塞缸的总压力p提供；当胶筒与套管接触后，封隔器与套管的环空充满液体也为胶筒座封提供压力，因此胶筒坐封轴向力为：

式中：p为井下作业压力，MPa；ps为井下静压，MPa；n为活塞缸个数，本文取n＝3；As为封隔器活塞面积，mm2；A为胶筒与套管环空面积，mm2；当胶筒与套管接触时系数k＝1，其他情况k＝0。

由于胶筒属于大变形不可压缩的超弹性材料，本构上属性非线弹性问题，应力应变呈非线性函数，通过实验得出胶筒橡胶材料的应力应变曲线如图3所示，加载和卸载曲线相同，卸载后无残余变形，这类材料在承载时多伴有大应变、大转动及大位移。由此可见，本文所建立的胶筒受力变形分析模型属于几何、材料、接触三重非线性问题。

图3 胶筒材料应力-应变曲线

2 三组胶筒多重非线性计算方法

2.1 胶筒变形求解方程

胶筒为轴对称结构，在轴向力和内外压力作用下产生变形，并与套管、中心管产生随机接触摩擦。为解决胶筒几何非线性，本文沿胶筒高度将胶筒分为若干个小微元，取任一微元Δz进行研究，如图4所示，胶筒内、外表面产生接触压力记为pi和po。

图4 胶筒任意微元模型

由厚壁圆筒理论的平衡方程得胶筒任意半径r处的径向应力σr、环向应力σθ、轴向应力σz为

式中：a为胶筒变形后内径，mm；当a＝R0（中心管外半径）时，p0≥0；b为胶筒变形后外径，mm；当b＝Rt（套管内半径）时，pi≥0。

将式（1）～（4）代入平衡方程，结合本构方程和几何方程得出胶筒变形方程组：

通过式（2）～（4）求出σr、σθ和σz，利用第四强度理论求得等效应力σ4，然后从图3中查出不同应力对应的应变，求得胶筒不同状态下的弹性模量Ei＝σ4／ε，Ei为每个胶筒的弹性模量，MPa，i＝1，2，3；k1＝1／（b2－a2）；k2＝a2pi－b2p o

由以上可以看出σz、k1、k2和E都是和a、b、pi和po有关的等式，而a和b又是ur的函数，ur又与pi、po和uz相互影响或制约。所以要通过式（5）～（7）组成的齐次非线性方程组求解胶筒内、外表面接触压力pi和po以及轴向位移uz和径向位移ur4个未知数是不可能的。

本文为了求解这个齐次非线性方程组，根据封隔器胶筒压缩变形过程与套管和中心管的双向接触边界条件，将胶筒变形过程分为自由变形、单向约束变形和双向约束变形3个阶段。对每个阶段胶筒变形进行分析，使齐次方程组变为非齐次方程组，可以求解。

封隔器胶筒变形过程边界条件：

2.2 求解方程方法

将载荷分成若干等份，采用载荷迭代方法来分析胶筒各个阶段不同性质的非线性变形。实际上是把一个复杂非线性加载过程，分割成若干个非线性程度不太严重的加载微段，然后对每一加载微段进行迭代求解，此方法可以避免胶筒某些非线性大变形被忽略，提高解的精确度，计算迭代过程如图5所示。

轴向压力每步增加Δp，一直增加到pz（规定压差），随着p增加，当urb＝Rt－R1时胶筒处于临界自由状态；p继续增加直到ura＝0时，胶筒由单向约束变形阶段进入双向约束变形阶段；当p＝pz时，计算结束。

图5 计算迭代方法框图

2.2.1 自由变形阶段

当urb＜Rt－R1时，即胶筒与套管没接触，与中心管可能接触即po＝0，Ff2＝0；当ura＞0时，即胶筒与中心管分离定义为自由变形阶段。随着p的逐渐增加，求出pi（若pi＜0，取pi＝0）、urb和uz1；当ur＝Rt－R1时胶筒与套管刚好接触。

由式（5）积分代入边界uΔz｜z＝Hp－Δz＝0得：

式中：Hp为三级胶筒每次压缩前高度，mm；n＝3；Hn＋1＝0。

由式（6）积分得：

由式（7）得：

由式（9）～（10）得：

由中心管接触边界条件知：ura＞0，pi＝0；ura＝0，pi≥0；取ura＝0得：

由上式得到接触压力pi后代入式（12）得胶筒横向伸长量urb，最终得出胶筒总的压缩量uz1为所有微元变化量uΔz之和。

2.2.2 单向约束变形阶段

当ura＞0，urb＝Rt－R1时，po＞0，Ff2≠0，这时胶筒与套管接触而与中心管分离定义为单向约束变形阶段。随着p的逐渐增加，求出po、ura、uz2；当ura＝0时胶筒与中心管接触。

由式（5）积分代入边界uΔz｜z＝Hp－Δz＝0得：

由式（6）积分得：

由式（7）得：

由式（15）～（16）得：

由中心管接触边界条件知：urb＝Rt－R1，po≥0；取urb＝Rt－R1得：

由（19）式得出接触压力po代入（17）式得胶筒横向伸长量ura；最终得出胶筒总的压缩量uz2为所有微元变化量uΔz之和。

2.2.3 双向约束变形阶段

当ura＝0且urb＝Rt－R1时，胶筒与中心管和套管都接触，即po≠0，pi≠0定义为双向约束变形阶段。随着p的逐渐增加，求出po、pi、uz；当p达到规定压力pz封隔器完全坐封。

由式（5）代入积分边界条件uΔz｜z＝Hp－Δz＝0得：

式中：k3＝apif1＋bpof2由式（6）积分得：

代入边界条件ur｜r＝a＝0得：

代入边界条件ur｜r＝b＝0得：

由式（7）得：

由式（21）～（24）知，c＝0；代入（22）～（23）式后，（22）×b－（23）×a得：（1＋μ）（pi－po）ab＝0

由上式得po＝pi，代入式（22）得：

由（25）式得到接触压力po和pi，代入（20）式，最终得出胶筒总的压缩量uz为所有微元变化量uΔz之和。

3 实例

某油井深3 800多m，下放套管规格为ø139.7 mm（5⅟²英寸），井温大约150℃，静压1 MPa，需要工作压力83 MPa，通过Y344-115型封隔器进行压裂作业。工具结构如图6所示，基本参数如表1。上、下胶筒初始弹性模量为9.14 MPa，中胶筒为5.30 MPa，胶筒泊松比均为0.5。计算封隔器胶筒变形情况。

图6 压缩式封隔器结构

表1 Y344-115型封隔器几何参数 mm

利用上述胶筒变形理论进行计算，在工作压差为83 MPa时，三级胶筒总的压缩量为62.63 mm，胶筒与套管的最大接触压力为88.99 MPa。每个胶筒的变形和接触压力如表2。

表2 每个胶筒变形计算结果

4 结论

1） 本文考虑油井静压和胶筒材料非线性、几何非线性及双重接触非线性，在研究胶筒变形时采用微元法，利用载荷迭代方法求解三级胶筒各个阶段的接触压力和压缩量。

2） 封隔器胶筒变形理论公式不仅适用于单级胶筒变形，也适用于不同硬度和不同高度的多级胶筒组合变形分析。

3） 将胶筒变形分为3个阶段，既详细地描述了封隔器坐封过程，又解决了齐次非线性方程组无法解的难题。通过实例计算得出压缩式封隔器在静压1 MPa和工作压力83 MPa下胶筒的压缩量和接触压力，为封隔器设计提供理论依据。

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Multiple Nonlinear Mechanical Analysis of Compressed Packing Level 3 Rubber

DANG Li-ming，LIU Ju-bao，LI Zhi-miao，WANG Yan
（College of Mechanical Science and Engineering，Northeast Petroleum University，Daqing 163318，China）

Compressed packing r ubber is the sealing unit of the separate-fracturing.Considering different har dness r ubber barrel co mbination and its characteristics of material nonlinear，geo metry nonlinear and double contact nonlinear，the defor mation homogeneous nonlinear equations of t he packer by t he infinitesi mal met hod and t he basic t heor y of mechanics is built up.Def or mation of r ubber barrel is divided into three steps：free def or mation before the packer rubber contacted casing pipe，one-way and t wo-way restrained def or mation after t he packer r ubber contacted casing pipe.The contact pressure and compressed length of each step is calculated by load iterative method.It provide str ong theoretical basis f or selecting multilevel r ubber barrel and designing co mpressed packing.

co mpressed packing；r ubber barrel；nonlinear；contact pressure；co mpressed lengt h

TE931.202

A

1001-3482（2014）06-0005-06

2013-12-12

党黎明（1988-），男，陕西合阳县人，硕士研究生，2011年毕业于东北石油大学，现从事非线性计算力学研究，E-mail：li mingxingguang＠126.co m。