挖掘题目隐含条件，寻找解题突破口

周瑞明

摘  要：在数学解题教学中，教师要经常引导学生在解答完题目后进行再思考，从重视一题多解、重视一题多变到培养学生抓住问题本质的能力，进一步来巩固所学知识和提高其解题能力，充分发挥数学解题教学的价值，让数学解题教学取得更好的效果.

关键词：数学教学;解题

在今年的高三复习备考中，笔者在函数的二轮复习中碰到了一道试题：2009年山东数学理科卷16题. 为了提高高三数学课堂复习的效率，对题目进行深入的挖掘是一种很好的途径，特别是历年的高考试题. 本文将对该题目的探究历程以试题解析、探究拓展、反思回顾等环节展现出来，供同仁参考.

原题呈现：（09山东数学理科卷16）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m>0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=___________.

试题解析

f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x-4）=-f（x），此式隐含如下条件：函数图象关于直线x=-2对称且f（0）=0;又由f（x-4）=-f（x）可得f（x-8）=f（x），所以函数f（x）是以8为周期的周期函数，这是从条件得到的另一个隐含条件. 这时函数f（x）具有的性质就都暴露出来了，图象也就很容易画出来. 如图1所示，方程f（x）=m（m>0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4.

由对称性知x1+x2=-12，x3+x4=4，所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

【命题立意】  本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.

探究拓展

探究一：改变条件，巩固相关知识

将试题中的“奇函数”改成“偶函数”，“f（x-4）=-f（x）”改成“f（x-4）=f（x）”，问题改成：则方程……