2014年江苏高考卷上“恒成立”问题剖析

黄国丽

摘  要：本文以2014年江苏高考卷上与恒成立有关的4道题目为基本素材，对恒成立问题进行剖析. 恒成立问题一直是高考中的重点、热点问题，今年江苏高考卷上还出现了以恒成立问题为背景的应用题，命题的新颖性与创造性进一步加强. 恒成立问题综合性较强，常渗透着数形结合、函数与方程、分类讨论、化归与转化等重要数学思想，有效地考查学生对数学思想方法的领悟程度，考查了学生的思维能力和解题能力.

关键词：恒成立;参数;数形结合;应用题;函数

恒成立问题一直是高考中的重点、热点问题，涉及内容较多，可考查函数、数列、不等式、导数、数学归纳法及应用建模等诸多方面的知识，题目灵活多变，综合性强. 以恒成立问题为背景的创新题多，可培养学生分析问题、解决问题、综合运用知识的能力. 因此每年许多省市的高考题中都会有此类问题出现. 本文以2014年江苏高考卷上的4道与恒成立相关的问题为基本素材，对“恒成立”问题做如下剖析.

含参数不等式（或等式）中的恒成立问题常用分离参数法

在解决不等式（或等式）恒成立问题时，用得较多的一种方法就是分离参数法. 当参数可以分离时，就把所需考查的某个参数a从不等式（或等式）中分离出来，变形为形如a>f（x）或a<f（x）或a=f（x）的恒成立问题来求解，再转化为研究函数f（x）的最值问题.

例1  （2014江苏高考第19题）已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数.

（1）证明：f（x）是R上的偶函数;

（2）若关于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围;