诱导公式应该换代

何秀杰

摘  要：现行教材下的诱导公式具有两大问题：由诱导公式本身给出的运算规则，只能得出结果的绝对值，不能确定符号，因此是半个完全公式，尚待完善;诱导公式太多，有6组，每组4个共24个，其符号需另外再看象限及函数名称来确定，也有24种，相当复杂. 对此，本文给出一组新的诱导公式，并将其应用于具体的例子中.

关键词：三角基本性质;诱导公式;升级换代

笔者认为现行教材下的诱导公式具有如下问题：由诱导公式本身给出的运算规则，只能得出结果的绝对值，不能确定符号，因此是半个完全公式，尚待完善;诱导公式太多，有6组，每组4个共24个，其符号需另外再看象限及函数名称来确定，也有24种，相当复杂.

下面介绍一组新公式

sin（nπ+α）=（-1）nsinα，cos（nπ+α）=（-1）ncosα， n∈z.

可以解决上述问题.

证明如下：

证法一：由和角公式Sα+β，sin（nπ+α）=sinnπcosα+cosnπsinα=cosnπsinα=（-1）nsinα，（cosnπ=（-1）n）.

由和角公式Cα+β，cos（nπ+α）=cosnπcosα-sinnπsinα=cosnπcosα=（-1）ncosα.

所以sin（nπ+α）=（-1）nsinα，cos（nπ+α）=（-1）ncosα， n∈z.可见公式nπ+α是独立于诱导公式之外的新公式，显然nπ+α（n∈z，α∈R）包含2kπ±α，π±α，且结果的符号由公式中的（-1）n自动确定.

下面介绍公式nπ+α的几何意义.

证法二：如图1，将任意角α的终边OP1绕原点O旋转π，得角π+α，这时点P1到达P2，由于P1，P2关于原点对称，设P1（x，y），则P2（-x，-y），令OP1=r，由此

sinα=，cosα=，

sin（π+α）==-sinα，

cos（π+α）==-cosα，

所以sin（π+α）=- sinα，

cos（π+α）=-cosα.

由于α的任意性，则

sin（2π+α）=sin[π+（π+α）]=-sin（π+α）=-（-sinα）=（-1）2sinα，

sin（3π+α）= sin[π+（2π+α）]=-sin（2π+α）=（-1）3sinα，

一般地，sin（nπ+α）= （-1）nsinα（n∈z+）.

同理，cos（nπ+α）= （-1）ncosα（n∈z+），

显然，tan（nπ+α）=tanα（n∈z+）.

若将角α的终边OP1绕原点O旋转-π，得角-π+α. 这时点P1（x，y）仍到达点P2（-x，-y）的位置.

显然sin（-π+α）=-sinα，

cos（-π+α）=-cosα，

采取同样的过程可以得到

sin（-nπ+α）=（-1）nsinα（n∈z+），

cos（-nπ+α）=（-1）ncosα（n∈z+）.

又（-1）-n==（-1）n.

所以，sin（nπ+α）=（-1）nsinα（n∈z），

cos（nπ+α）=（-1）nsinα（n∈z）.

这样我们得到下面公式：

对于任意角α，有

sin（nπ+α）=（-1）nsinα（n∈z），

cos（nπ+α）=（-1）ncosα（n∈z）.

这个证法构造了公式nπ+α的几何意义，这是一个动态的模型，它直观地告诉了我们一个重要规律：sinα，cosα随角的变化，每增加一个π（-π），函数值改变一次符号，绝对值不变……