参数方程几何构造圆锥曲线轨迹探究

洪朝晖

摘  要：计算机软件可以直观形象地理解曲线参数方程中参数的几何意义，并由此看到在参数控制下的曲线形成过程. 本文探讨在几何画板软件中，以参数方程为原理，利用轨迹操作构造圆锥曲线的主要思路与方法.

关键词：参数方程;曲线轨迹

几何构造轨迹简介及绪论

圆锥曲线的表示形式主要有：定义、标准方程、极坐标方程与参数方程，其中，定义绘制圆锥曲线并不困难，但是其做法的适用范围则非常局限，标准方程与极坐标方程涉及数量的乘除运算，这在几何操作中难以实现.本文探讨在几何画板软件中，以参数方程为原理，利用轨迹操作构造圆锥曲线的主要思路与方法. 允许使用的操作有：

◆ 在曲线上取一点;

◆ 作直线、线段、射线;

◆ 过一点作一直线垂线;

◆ 过一点以一线段长作圆;

◆ 取直线与圆、直线与直线的交点;

◆ 取相关联的两点，绘制一点自由移动时另一点的轨迹.

由以上的基本操作，给定所需点，可以绘制圆锥曲线.

椭圆、双曲线与抛物线的作图

（1）如图1，给定点P，Q，R（PQ⊥PR），要求绘出以P为中心，以PQ为长半轴，以PR为短半轴的椭圆.

？摇？摇考虑椭圆的参数方程x=acosθ，y=bsinθ， 利用圆中的三角函数线，完成所需操作.

作图步骤：

1. 连接直线PQ，PR;

2. 以P为圆心，分别以PQ，PR为半径作圆C1，C2;

3. 取C1上一点M，连接PM，与C2交于K;

4. 过K作PR的垂线，过M作PQ的垂线，两垂线交于S;

当M在C1上移动时，S的轨迹即为所求椭圆，在这一过程中，有∠MPQ=θ，S（acosθ，bsinθ）.

对于双曲线，注意到x=asecθ，y=btanθ，可以有类似的操作方法.

（2）如图2，给定点P，Q，A（PQ⊥PA），要求绘出以P为中心，以……