电介质的微空气隙中电场的计算

崔乐，刘宝盈，袁训锋，杨琳

（商洛学院电子信息与电气工程学院，陕西 商洛 726000）

微气隙是引起固体内部局放[1-3]的主要因素，本文应用电介质极化原理[4-7]计算了微气隙内部电场分布，从理论上解释了固体内部发生局部放电的原因。

高电压绝缘设备内部不可避免的存有缺陷（例如固体介质中的气隙、液体介质中的气泡）和电场分布的不均匀性，这些气隙、气泡或固体绝缘的沿面场强达到一定值以上时，就会发生局部放电。这种放电并不立即形成贯穿性通道，但长期的局部放电，使绝缘（特别是有机介质）的劣化损伤逐步扩大，甚至可使整个绝缘击穿或沿面闪络。

文献[1]提到，由于气泡的介电常数比周围绝缘物的介电常数小得多，故在外施电压作用下，其场强要高得多。并没有具体的数值计算证明气隙内的场强高于周围绝缘物。而固体介质的内部局放通常是由于微空隙引起的，微气隙是引起固体内部局放[1-4]的主要因素，不同的气隙形状对空间电场的改变是不一样的，所以本文应用电介质极化原理[5-8]，在不同的三维形状下（球体，椭球体等）计算气隙内部电场分布，从理论上解释了固体内部发生局部放电的原因。

1 物理问题的描述

绝缘设备是一个宏观物质，而气隙是极其微小的，所以在一定条件下，可以认为气隙所处的电场是均匀的。

为了计算简便，这个问题可以转化为介质球和介质椭球在均匀外场中的电场数值计算。

在传统的高压静电场计算中，通常是在给定边界条件下，用拉普拉斯方程分离变量解析电场[9]。这种方法的计算是比较繁琐的，解完后发现其实完全可以应用电介质极化的原理来求解。

2 介质球在均匀外场中的电场数值计算

众所周知，对于各向同性电介质中某点的极化强度矢量P与该点的电场强度E成简单关系[8]：

式中，xe是和介质性质有关的比例系数，称为电介质的电极化率。对于式（1）所表示的极化规律，必须认识到介质中某点的极化强度矢量P是和该点的总电场强度E成正比，而总电场强度E不仅仅是外电场，它还包括介质极化出现的极化电荷激发的所谓附加电场。而极化电荷的分布又直接决定于极化强度矢量P，所以式（1）中的P和E 2个量是相互制约的关系。

因此，电介质的极化过程可以这样理解：当外电场不存在时，电介质呈现电中性，当电介质置于电场之中，电介质发生极化，极化的结果是在介质内部产生未被抵消的电偶极矩和极化电荷。这些电偶极矩和极化电荷同自由电荷一样在周围空间（在介质的内部和外部）激发电场，通常被称为附加电场。附加电场又要作用于介质，从而引起介质的进一步极化，电介质进一步极化的结果又要激发新的附加电场，新的附加电场又将作用于介质，引起介质的进一步极化，……，如此这样无限循环下去，直到最后达到最终的极化状态。以上就是介质极化和电场之间相互制约的介质极化的物理过程。下面我们将按这一极化过程讨论介质球在均匀电场E0中极化后的电场分布。

首先，假设在介质球刚置于均匀外电场E0中的瞬间，介质球内部的电场强度也是E0，在该电场作用下，介质球被均匀极化，根据式（1），此时介质球的极化强度为：

可以证明，极化强度为P0的均匀介质球在其内部产生的附加电场强度为[9]：

反过来，附加电场E1又要作用于介质球，引起介质球的极化，从而在介质球内产生均匀的极化强度为：

进一步的极化又要产生新的附加场，……，这样依次循环下去，第n次极化的极化强度和附加电场强度分别为：

这样，介质球内部的最终电场强度显然应该是外场E0和附加电场E1，E2，……之矢量和，即

求出上面级数之和，得：

又由于εr=1+xe，ε=ε0εr，代入式（9）得：

式中，ε0为固体介质的相对介电常数；ε为气隙的相对介电常数，显然由式（10）可得气隙内的场强要比固体内的场强高得多。

3 介质椭球在均匀外场中的电场数值计算

在笛卡尔坐标系中，椭球方程为：

当电介质椭球体置于均匀外场E0中，椭球体内介电常数为ε=εrε0。由于椭球体内外无自由电荷分布，所以其电势分布φ（x，y，z）满足拉普拉斯（Laplace）方程及边界条件:

φ1=φ2（在椭球表面处）

式中，φ1，φ2分别为电介质椭球内外的电势。由于所讨论的边界条件是椭球面，所以选择椭球坐标系[5]（ε，η，ζ）。它与笛卡尔直角坐标系关系是：

由式（11）可以求出椭球坐标系中的Laplace 算子为：

这里直接引用文献[10-11]关于当外电场平行于椭球体x轴时的推导结果并且采用类似方法，就可求得当外电场为任意方向时介质椭球内的电势分布为：式中，E0i（i=x，y，z）分别为E0在x，y，z轴上的分量。

对φ1进行负梯度运算可以求得介质椭球内的电场强度分布为：

显然，由式（16）同样可以看出气隙内的场强要比固体内的场强高得多。

4 结语

本文针对固体介质中不同微空气隙形状(球体，椭球体）内部电场计算问题，通过简化建立了电场数学模型，应用电介质极化原理，在求解介质椭球电场分布时采用了椭球坐标系，通过求解数学方程，得到了微空气隙内部电场分布。数值计算结果表明:气隙内的场强总要比固体内的场强高得多，而气隙的介电强度比固体介质低，所以当加至一定电压时，在固体介质击穿之前，总是在空气隙内先开始放电。

唯一不足是在计算椭球体内部电场分布时，只求解了当外电场平行于椭球体x轴时的情况，并没有给出对于外电场与x轴有一定夹角这种一般情况下的解。并且在这里只取了2个不同的三维形状，不过其他形状的空气隙求解过程类似。

[1] 刘通，John Fothergill，Steve Dodd，等. 交联聚乙烯电力电缆的介电损耗机理（英文）[J]. 南方电网技术，2010（5）: 7-14.LIU Tong，John Fothergill，Steve Dodd，et al. The dielectric loss mechanisms of XLPE power cables[J]. Southern Power System Technology，2010（5）: 7-14（in Chinese）.

[2] 彭华东，董明，刘媛，等. 回复电压法用于变压器油纸绝缘老化状态评估[J]. 电网与清洁能源，2012（9）: 6-12.PENG Huadong，DONG Ming，LIU Yuan，et al. Transformer oil-paper insulation ageing condition assessment[J].Power System and Clean Energy，2012（9）: 6-12 （in Chinese）.

[3] 何山，罗向源，朱文滔，等. 基于电声脉冲法空间电荷测量方法的信号恢复技术研究[J]. 电力与能源，2014（3）: 333-336.HE Shan，LUO Xiangyuan，ZHU Wentao，et al. Recovery technology of space charge distribution signal based on the pulse electroacoustic method[J]. Power & Energy，2014（3）: 333-336（in Chinese）.

[4] 陈广辉，岳彩鹏，王伟. 聚合物固体绝缘材料应用研究[J]. 电力科学与工程，2011（9）: 8-11.CHEN Guanghui，YUE Caipeng，WANG Wei. Research on polymer solid insulation[J]. Electric Power Science and Engineering，2011（9）: 8-11（in Chinese）.

[5] 罗毅，方志，邱毓昌，等. 介质阻挡放电影响因素分析[J]. 高压电器，2004（2）: 81-83.LUO Yi，FANG Zhi，QIU Yuchang，et al. Analysis of influencing factors on dielectric barrier discharge[J]. High Voltage Apparatus，2004（2）: 81-83（in Chinese）.

[6] 姚学玲，陈景亮. 脉冲高压强流环境中的电磁防护距离的初步探讨[J]. 电瓷避雷器，2002（6）: 42-46.YAO Xueling，CHEN Jingliang. An approach to electromagnetic protection distances in pulse high current dischanging environment[J]. Insulators and Surge Arresters，2002（6）: 42-46（in Chinese）.

[7] 刘烈昌. 电介质极化过程中的功能分析[J]. 上饶师范学院学报：自然科学版，2003（6）: 41-43.LIU Liechang. The analysis between the work and energy in the process of dielectric polarization[J]. Journal of Shangrao Normal College：Natural Science，2003（6）: 41-43（in Chinese）.

[8] 刘华，梁宝社，王入更. 电介质中极化电荷及其电场的分布[J]. 河北建筑科技学院学报，1999（3）: 46-50.LIU Hua，LIANG Baoshe，WAN Rugeng. The distribution of the bound charge and its electric field strength in dielectric[J]. Journal of Hebei Institute of Architectural Science and Technology，1999（3）: 46-50（in Chinese）.

[9] Gerald Burns. Solid state physics[M]. Florida: Academic Press，Inc. 1985. 454-461.

[10] ASHCROFT N W，MERMIN N D. Solid state physics[M].New York: Holt，Rinehart and Winston，1976. 546.

[11] 孙目珍. 电介质物理[M]. 广州: 华南理工大学出版社，2000：115-122.