带环形防晃板的圆柱储液罐三维晃动动力特性研究

贾善坡， 赵友清， 许成祥， 姚华彦

（1.长江大学 城市建设学院，湖北 荆州 434023；2.合肥工业大学 土木与水利工程学院，安徽 合肥 230009）

储罐液体晃动问题广泛发生在石油、船舶、化工等领域，常因内部储存流体晃动过大造成容器破坏、重大经济损失及人员伤亡，因此，如何控制晃动问题引起研究者广泛关注［1－2］。目前，常在容器内布置隔板作为液体晃动阻尼器来控制液体晃动行为，如条形隔板、环形隔板及半月形隔板等［3］；文献［4］运用特征函数法研究了竖直隔板对矩形储液罐液体晃动特征频率的影响；文献［5］建立了底部安装竖直隔板的矩形储液罐数学模型，并进行了数值解与实验结果的对比研究；文献［6］采用能量法研究了带竖直隔板的矩形储液罐在水平激励作用下液体晃动阻尼；文献［7］在线性势流理论假设基础上，使用有限元模拟分析了带环形隔板的圆柱容器内液体晃动阻尼；文献［8］使用VOF技术研究了带隔板立方储液罐的防晃特性，并与实验结果作了对比分析；文献［9］采用分离变量法研究了水平简谐激励作用下带环形隔板圆柱形储液罐中液体晃动响应；文献［10］通过实验和数值模拟研究了带水平隔板及竖直隔板的矩形储液罐动态阻尼特性。

相比于常规储罐液体晃动问题，带隔板的储液罐液体晃动特性受隔板数量、半径及布置位置等因素影响较大，因此，确定合适的隔板参数及选择有效的分析方法是储罐设计的关键。

本文以有限元软件ABAQUS为平台，建立带隔板圆柱储液罐三维晃动数值模型，获得了带环板和无环板时圆柱储液罐液体晃动特征频率、模态，分析了带环板圆柱储液罐液体晃动动力特性及液体晃动频率与环板相对半径、相对位置等参数的关系，并得出液体晃动的一般规律。

1 液体晃动控制方程

1.1 声学方程

声学介质适合描述无黏、可压缩的理想流体，其中无剪切应力行为，考虑材料阻尼的微幅运动平衡方程［11］为：

其中，p为流体动压力；x为流体质点空间坐标；为流体质点的速度；为流体质点加速度；ρf为流体的密度；γ为体积曳力。考虑体积模量的声学介质动态压力计算时，本构方程为：

其中，Kf为流体体积模量；uf为流体质点的位移。

假设液体为无黏、可压缩、线性的理想流体，（2）式可表示为：

其中，εV为流体体积应变，εV＝ε11＋ε22＋ε33。

1.2 流体动力学方程

设流体速度势函数为φ（x，y，z，t），则由流体连续性方程得到不可压缩性流体域V，满足：

假设液体为无黏性理想流体，流体与罐壁具有不可渗透性条件，流体沿罐壁切面自由运动，流体沿罐壁法向速度分量等于0，则在罐壁湿表面∂Vw上的边界条件方程为：

流体自由表面∂Vf上满足运动学边界条件，根据流体动力学方程及自由表面的伯努利方程，可得：

其中，h为流体自由面波高；g为重力加速度。

令φ（x，y，z，t）＝iωΦ（x，y，z）eiωt，h（x，y，z，t）＝H（x，y，z）eiωt代入（6）式，并联立（4）式、（5）式，获得自由晃动特征问题为：

其中，ω为特征频率；Φ为对应的特征模态。

引入泛函为：

则（7）式的自由晃动特征问题转化为（8）式的极值解，δΨ＝0。对于三维储液罐自由晃动问题，将解得的特征向量Φ（x，y，z）代入（8）式，则有：

2 有限元模型与数值方法

液体自由晃动有限元方程为：

其中，Mf为液体质量矩阵；Kf为液体刚度矩阵。

设（10）式解的表达式为：

将（12）式代入（10）式，得到液体自由晃动特征方程为：

其中，ω1，ω2，ω3，…，ωn为n个特征频率；φ1，φ2，φ3，…，φn为相应的n个特征振型。

由（13）式提取特征值时，考虑液体晃动系统自由度多，同时需要得到大量特征模态，为了减少求解时间，使其快速收敛，使用 Lanczos法［12－13］提取特征值，即Lanczos谱变换为：

其中，σ为偏移值，由Gershgorin圆几何平均值确定；θ为特征值；Φ为特征向量。特征值ω与θ关系为：

Lanczos程序每次运行创建一序列Krylov子空间，由一系列运算步通过执行子空间维数增长，获得最逼近的子空间特征向量。Lanczos这种检测丢失和强制运行的基本模式，理论上只可以计算简单特征值问题，而对液体晃动这类含大型矩阵特征值问题是费时的。分块Lanczos法［14］能较好地解决这一问题。

以本文所述方法创建三维圆柱型储液罐液体晃动模型，流体域采用ABAQUS特有的声单元AC3D8，自由液面采用膜单元M3D4。重力是液体晃动必不可少的恢复力，而声学单元不可直接附加均布重力载荷，因此，在声单元和膜单元之间引入弹簧单元，同时也实现了位移与应力的兼容。最终液体晃动时，划分的自由液面微面受到一重力恢复力ρgdA（dA为微面面积），分析时取ρgdA数值大小作为引入的单个弹簧刚度。此外，考虑到网格密度对数值模拟精确度影响，在划分有限元模型网格时，一个波长内布置节点不少于6～8个，使空间步距Δx＜λ／6，可保证波动数值模拟准确［15］。

3 算例分析

为了验证本文方法的准确性，首先建立一个无环板的圆柱储液罐实例，求解出数值解，再与同假设条件下求解出的理论解对比验证。验证方法可行后，研究圆柱储液罐在不同环板数量、半径宽度及位置时的液体晃动特性，如图1所示。

图1 带环形隔板的圆柱储液罐

3.1 验证实例

某圆柱储液罐，半径R为40m，液体深度H为30m，密度ρf为1 000kg／m3，声速c0为1 435m／s，液体体积模量为2.06×109Pa。假设罐壁刚性，且固定在刚性地基上。

对于液体自由晃动的三维问题，假定液体是理想液体，无黏性、不可压缩、无旋，则液体晃动的固有频率为：

其中，ωi为液体晃动第i阶频率；λi为一阶Bessel函数导数的第i个根。

使用本文所述方法获得液体晃动前8阶模态，如图2所示。由（16）式求解圆柱储液罐液体自由晃动前几阶频率理论解，结果见表1所列。

图2 无环板储液罐液体自由表面晃动模态图

表1中，m和n分别是横截面内2个相互垂 直方向上的半波数，本文结果和理论值误差在2.5%以内，说明了本文方法的有效性和可靠性。

表1 流体自由晃动频率计算结果比较 rad／s

3.2 防晃板罐液体自由晃动分析

假设圆柱储液罐半径R为40m，液体深度H为30m；罐内置刚性环板，厚度为0.008m，相对半 径Ri／R为 0.7，即 环 板 宽 度 为 12m；h／H＝0.5，即环板离自由液面高度h为15m；有限元网格密度、材料参数及边界条件均一致。计算得到带单层环板储液罐液体晃动前8阶模态及前30阶特征频率，如图3、图4所示。

由图4结果可以看出，流体自由晃动频率包括低频和高频2部分。低频部分对应于流体自由晃动时分布在自由液面的动压力引起的自由液面波动；高频部分对应于流体内部动压力波动。加环板的圆柱储液罐与不加环板时相比，由于环板作用，每阶晃动频率不同程度减小，环板在储液罐中起到很好的防晃作用。

图3 单层环板储液罐液体自由表面晃动模态图

图4 流体自由晃动频率

3.3 晃动频率与防晃板半径的关系

当罐内分别布置不同半径环板且置于不同位置时，研究液体晃动基频的变化规律。假设圆柱储液罐半径R为1m，液体深度H为1m，罐内置环板为刚性，厚度为0.004m，有限元网格密度、材料参数及边界条件均一致。环板布置于7个不同相对位置，即h／H分别为 0.01、0.05、0.20、0.50、0.70、0.80、0.90；且在每个对应位置时，考虑环板的6个不同相对半径，即Ri／R分别为0.1、0.3、0.5、0.7、0.8、0.9，分别获得前几阶液体晃动频率。

取第1阶晃动频率分析，绘出基频与环板相对半径曲线图及基频与环板相对位置曲线图，如图5、图6所示。其中，无环板时圆柱罐液体晃动基频数值解ω为3.960 5rad／s，解析解ω为3.990 8rad／s，误差为0.76%。

图5 液体晃动基频与环板相对半径关系

图6 液体晃动基频与环板相对位置关系

3.4 晃动频率与防晃板位置的关系

由图6可以看出，环板所处位置对液体晃动基频有较大影响。随着环板位置趋向自由液面时，液体晃动基频均不同程度减小，特别在h／H＜0.20范围内液体晃动基频变化率最大；h／H＝0.70时，液体晃动基频达到阶段最大值，随后随着环板位置继续趋向底面时，液体晃动基频基本无明显变化，尤其当h／H＞0.70、Ri／R＞0.7时，液体晃动基频几乎相当于不设置环板的圆柱罐液体晃动基频，即ω为3.960 5rad／s。

4 结 论

（1）由计算值与理论值对比可知，采用本文方法对带环板的圆柱储液罐三维晃动动力特性分析研究是可行的。

（2）环板对圆柱罐液体具有很好防晃特性，随着环板相对半径的减小，液体晃动基频均减小，且在Ri／R＜0.7时，对不同位置环板的液体基频均影响显著，在Ri／R＞0.9时，对不同位置环板的液体基频均影响不明显。

（3）随着环板位置趋向自由液面时，液体晃动基频均不同程度减小，h／H＜0.50时，环板的防晃特性最优，在h／H＝0.70时，液体晃动基频达到阶段最大值，随着环板位置继续趋向底面时，液体晃动基频基本无明显变化。

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