浅谈“微元法”在高考物理题中应用

史文杰

在近几年的高考中时常出现一些涉及物体在变力作用下，做非匀变速运动的问题.学生在解题时，感觉无从下手.因为日常的教学和练习中，大多数情况只讨论恒力作用下的匀变速直线运动，对于变力问题下的非匀变速直线运动只作定性分析，很少进行定量研究.这类问题的解决涉及到“微元法”.

一、微元法

所谓“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种方法.它适用于变力作用下做变速运动（非匀变速运动）的情况.用微元法解题目体现了微分和积分的思想.

何为微分思想？例如时间Δt很短或位移Δx很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动，从v-t图象中的图形可近似看作矩形，所以vΔt=Δx.

何为积分思想？如许多小的梯形加起来为大的梯形，即Δx=X，（Δx代表微位移，X代表总位移），并且Δv=v-v0，当末速度v=0时，有Δv=v0，或初速度v0=0时，有Δv=v，这种求和的方法体现了积分思想.

笔者发现采用“微元法”解决的题目虽然很多，情景多变，但其解题的模式是相似的，都采用关系式Δv=aΔt=F合mΔt，即牛顿第二定律和加速度定义式的微元式，学生只要会受力分析和运动分析，写出F合的表达式（与v有关的变力）以及初速

度v0和末速度v，根据上面的方程，解出相关的物理量即可.下面谈一谈“微元法”在电磁感应问题和动力学问题中的应用.

二、“微元法”在电磁感应问题中的应用

一些涉及“电磁感应”的题目，可以用微元法解，因为在电磁感应中，如导体切割磁感线运动，产生的感应电动势E=BLv，感应电流I=BLvR，安培力F=BIL=B2L2Rv，因为是变力问题，所以可以用微元法.

例1如图所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆，导轨间距为L，导轨的一端连接一阻值为R的电阻，其它电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面，现给金属杆一个水平向右的初速度v0，然后任其运动，导轨足够长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？

解析对杆进行受力分析，杆在竖直平面内受到重力、竖直向上的支持力这是一对平衡力，水平方面上向左的安培力是杆受到的合外力.而且F安随速度的变小而变小.这是典型变力作用下求位移的题.

解设杆在减速中的某一时刻的速度为v，取一极短时间Δt，发生了一段极小的位移Δx，在Δt时间内， 磁通量的变化Δ=BLΔx， 感应电流I=ΔΔtR=BLΔxΔtR

安培力F安=BIL=B2L2ΔxΔtR， 由于Δt极短，可以认为F安=B2L2vR.

由牛顿第二定律在t到t+Δt时间内，Δv=aΔt=F合m=Δt （此处体现了微分思想）

方程两边求和：Δv=B2L2vmRΔt （此处体现了积分思想）

方程变形：

Δv=B2L2mRvΔt （vΔt=x，Δv=v0-0）

即v0-0=B2L2mRx， 解得：x=mv0RB2l2

三、“微元法”在动力学问题中的应用endprint

在近几年的高考中时常出现一些涉及物体在变力作用下，做非匀变速运动的问题.学生在解题时，感觉无从下手.因为日常的教学和练习中，大多数情况只讨论恒力作用下的匀变速直线运动，对于变力问题下的非匀变速直线运动只作定性分析，很少进行定量研究.这类问题的解决涉及到“微元法”.

一、微元法

所谓“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种方法.它适用于变力作用下做变速运动（非匀变速运动）的情况.用微元法解题目体现了微分和积分的思想.

何为微分思想？例如时间Δt很短或位移Δx很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动，从v-t图象中的图形可近似看作矩形，所以vΔt=Δx.

何为积分思想？如许多小的梯形加起来为大的梯形，即Δx=X，（Δx代表微位移，X代表总位移），并且Δv=v-v0，当末速度v=0时，有Δv=v0，或初速度v0=0时，有Δv=v，这种求和的方法体现了积分思想.

笔者发现采用“微元法”解决的题目虽然很多，情景多变，但其解题的模式是相似的，都采用关系式Δv=aΔt=F合mΔt，即牛顿第二定律和加速度定义式的微元式，学生只要会受力分析和运动分析，写出F合的表达式（与v有关的变力）以及初速

度v0和末速度v，根据上面的方程，解出相关的物理量即可.下面谈一谈“微元法”在电磁感应问题和动力学问题中的应用.

二、“微元法”在电磁感应问题中的应用

一些涉及“电磁感应”的题目，可以用微元法解，因为在电磁感应中，如导体切割磁感线运动，产生的感应电动势E=BLv，感应电流I=BLvR，安培力F=BIL=B2L2Rv，因为是变力问题，所以可以用微元法.

例1如图所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆，导轨间距为L，导轨的一端连接一阻值为R的电阻，其它电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面，现给金属杆一个水平向右的初速度v0，然后任其运动，导轨足够长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？

解析对杆进行受力分析，杆在竖直平面内受到重力、竖直向上的支持力这是一对平衡力，水平方面上向左的安培力是杆受到的合外力.而且F安随速度的变小而变小.这是典型变力作用下求位移的题.

解设杆在减速中的某一时刻的速度为v，取一极短时间Δt，发生了一段极小的位移Δx，在Δt时间内， 磁通量的变化Δ=BLΔx， 感应电流I=ΔΔtR=BLΔxΔtR

安培力F安=BIL=B2L2ΔxΔtR， 由于Δt极短，可以认为F安=B2L2vR.

由牛顿第二定律在t到t+Δt时间内，Δv=aΔt=F合m=Δt （此处体现了微分思想）

方程两边求和：Δv=B2L2vmRΔt （此处体现了积分思想）

方程变形：

Δv=B2L2mRvΔt （vΔt=x，Δv=v0-0）

即v0-0=B2L2mRx， 解得：x=mv0RB2l2

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在近几年的高考中时常出现一些涉及物体在变力作用下，做非匀变速运动的问题.学生在解题时，感觉无从下手.因为日常的教学和练习中，大多数情况只讨论恒力作用下的匀变速直线运动，对于变力问题下的非匀变速直线运动只作定性分析，很少进行定量研究.这类问题的解决涉及到“微元法”.

一、微元法

所谓“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种方法.它适用于变力作用下做变速运动（非匀变速运动）的情况.用微元法解题目体现了微分和积分的思想.

何为微分思想？例如时间Δt很短或位移Δx很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动，从v-t图象中的图形可近似看作矩形，所以vΔt=Δx.

何为积分思想？如许多小的梯形加起来为大的梯形，即Δx=X，（Δx代表微位移，X代表总位移），并且Δv=v-v0，当末速度v=0时，有Δv=v0，或初速度v0=0时，有Δv=v，这种求和的方法体现了积分思想.

笔者发现采用“微元法”解决的题目虽然很多，情景多变，但其解题的模式是相似的，都采用关系式Δv=aΔt=F合mΔt，即牛顿第二定律和加速度定义式的微元式，学生只要会受力分析和运动分析，写出F合的表达式（与v有关的变力）以及初速

度v0和末速度v，根据上面的方程，解出相关的物理量即可.下面谈一谈“微元法”在电磁感应问题和动力学问题中的应用.

二、“微元法”在电磁感应问题中的应用

一些涉及“电磁感应”的题目，可以用微元法解，因为在电磁感应中，如导体切割磁感线运动，产生的感应电动势E=BLv，感应电流I=BLvR，安培力F=BIL=B2L2Rv，因为是变力问题，所以可以用微元法.

例1如图所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆，导轨间距为L，导轨的一端连接一阻值为R的电阻，其它电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面，现给金属杆一个水平向右的初速度v0，然后任其运动，导轨足够长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？

解析对杆进行受力分析，杆在竖直平面内受到重力、竖直向上的支持力这是一对平衡力，水平方面上向左的安培力是杆受到的合外力.而且F安随速度的变小而变小.这是典型变力作用下求位移的题.

解设杆在减速中的某一时刻的速度为v，取一极短时间Δt，发生了一段极小的位移Δx，在Δt时间内， 磁通量的变化Δ=BLΔx， 感应电流I=ΔΔtR=BLΔxΔtR

安培力F安=BIL=B2L2ΔxΔtR， 由于Δt极短，可以认为F安=B2L2vR.

由牛顿第二定律在t到t+Δt时间内，Δv=aΔt=F合m=Δt （此处体现了微分思想）

方程两边求和：Δv=B2L2vmRΔt （此处体现了积分思想）

方程变形：

Δv=B2L2mRvΔt （vΔt=x，Δv=v0-0）

即v0-0=B2L2mRx， 解得：x=mv0RB2l2

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