基于中点弦测法的轨道不平顺精确值数学模型研究

王源，徐金辉，陈嵘，肖杰灵，王平

(西南交通大学高速铁路线路工程教育部重点实验室，四川成都610031)

基于中点弦测法的轨道不平顺精确值数学模型研究

王源，徐金辉，陈嵘，肖杰灵，王平

(西南交通大学高速铁路线路工程教育部重点实验室，四川成都610031)

弦测法是测量轨道不平顺的一种基本方法，原理简单，使用方便，高效迅捷。传统观点是直接将弦测值作为轨道不平顺的近似描述，这会不可避免地因基准线变动而产生较大误差。针对该问题建立了一个描述中点弦测法本质的数学模型，分析了轨道不平顺与其弦测值之间的关系，构造了一种计算轨道不平顺精确值的迭代算法与快速算法，并采用数值仿真对弦测过程进行模拟。结果显示:迭代算法总体误差较小，传递函数较好，但由于迭代次数等原因会产生端点误差;快速算法以牺牲计算内存为代价能达到较高精度，绝对误差在1 μm以内，传递函数效果极好，从而证明了所建立的数学模型的正确性与计算结果的精确性。

中点弦测法 轨道不平顺 传递函数 数学模型

从20世纪中叶起，各国铁路大都采用弦测法测量轨道不平顺，以弦线作为测量的基准线。由于该方法具有测量原理简单、使用方便、装备便宜等优点，一度得到世界范围的广泛应用［1］。传统观点认为，弦测法的传递函数是随着弦长与轨道不平顺波长的比值变化的，有较严重的“缺陷”，只有在部分情况下才能正确测量或近似反映轨道的平顺状态［2-3］。基于此，文献［4］分析了三点偏弦的轨面复原方法，文献［5］研究了四点弦轨面复原方法，文献［6］提出“以小推大”公式以改善弦测法的适用性。然而这些方法均未能从根本上改变弦测法的本质缺陷。

本文认为，所谓“缺陷”是由于直接使用弦测值作为轨道不平顺的近似描述产生的，这将不可避免地因基准线变动而产生较大误差。针对此，本文建立了弦测法的数学模型，从理论上解释了轨道不平顺与其弦测值之间的数学关系，发现通过弦测值这一相对信息可以反算得出真实的轨道不平顺，最后借助数值仿真验证了该数学模型的正确性与计算结果的精确性。

1 弦测法的数学模型

弦测法测量原理如图1所示，在直线段轨道上，设真实的轨道不平顺y=f(x)，x为里程。图中，AB为测量弦线，长度为L，C为弦线的中点，则C处的弦测正矢值为CD，由于轨道不平顺幅值为毫米级，AB弦与水平向的夹角θ足够小，可以认为CD值与CD'值近似相等。

图1 弦测法示意

考虑到实际的轨道不平顺只在有限里程范围内才有意义，可将f(x)定义在［xmin，xmax］，为了方便后面的数学推导，这里将轨道不平顺推广到(-∞，∞)，则f(x)可以表示为

里程x处的弦测值g(x)可以表示为［1］

这里，控制测量步长为L/2，可以在每个L/2处得到一个弦测值。式(1)称为从不平顺f(x)到弦测值g(x)的正变换过程。然而，问题的关键在于如何利用g(x)逆推得到f(x)，将式(1)变换如下

从式(2)可知，里程x处的不平顺值与弦测值g(x)、不平顺值f(x-L/2)和f(x+L/2)有关，通过弦测法只能测得g(x)，然而f(x-L/2)与f(x+L/2)均未知，故由式(2)无法直接得到真实的不平顺f(x)，但是由式(2)可构造一个递推式

进一步递推有

依次递推下去，可以得到第n阶公式

式中f0(x)是迭代的初值。

通过数学归纳法可证明式(5)即为式(3)的第n步递推结果。分析式(5)可以发现，fn(x)由两部分组成，其中第一部分只与g(x)有关，第二部分只与f0(x)有关，并且随着n值的逐渐增大，由于初值f0(x)为有界收敛序列，可以证明

结合式(5)、式(6)、式(7)可以得到

从式(8)能够发现f(x)可以仅用g(x)求出，通过式(8)可构造一种迭代算法，以实现通过弦测值求出较准确的不平顺值。

2 轨道不平顺的逆推算法

2.1 轨道不平顺的迭代算法

图2为轨道不平顺迭代算法的示意图，图中AC， BD，CE为测量弦线，O，N分别为AC，BD、CE中点，P为MN中点。BM，CO，DN分别为B，C，D三处的L长弦测值。

从图2中能够看出，C点的真实不平顺|CC'|为

然后将CP值作为C点新的不平顺近似值，再用该近似值修正B，D两点的不平顺值，根据式(10)的原理对每一个点的弦测值进行修正，进而得到不平顺新的近似值，如此修正多次后，所得不平顺近似值将收敛于真实不平顺值，如式(11)所示。

该过程即构成一套迭代算法，在迭代有限次之后即可发现不平顺近似值趋于稳定，此时对比原不平顺与该迭代计算所得的近似不平顺，即可发现两者误差很小。

2.2 逆推轨道不平顺的快速算法

由于迭代过程计算时间较长，本文还针对此设计了一个快速算法，借助矩阵运算跳过如上迭代过程。如果把不平顺f(x)作离散采样，转化为向量T，采样间隔L/2，把测得的弦测值记作向量G，则式(2)可以用矩阵的形式写为

式中T为转换矩阵，如式(13)所示

把式(12)称为正变换方程，也即弦测值测量过程。通过G向量逆推求出F向量称为反变换方程，这里需要找到一个逆转换矩阵S，使得

将式(14)带入式(12)可得

也即

式中，I为单位矩阵，因而S为T的逆矩阵。

该方法本质是求解线性方程组，在该过程中需要储存一个N阶三对角矩阵，N为采样数目。在矩阵维数N较小时可以通过求转换矩阵的逆矩阵的方式迅速求解，在维数N较大时对系统内存需求较多，因而只能采取上述占用内存较少的迭代算法，或者可以考虑使用其他线性方程组求解方法。从这点看来，上文所述迭代算法本质上即为雅克比迭代格式的一种描述。

3 弦测法的数值仿真过程

为了验证上面所述方法的可行性，本文采用数值仿真方法，通过MATLAB设计程序模拟弦测过程，并将测得的弦测值通过本文所述迭代算法与快速算法反算轨道不平顺。仿真过程分为三部分:第一部分采用数值仿真模拟弦测过程;第二部分根据弦测数据逆推真实不平顺;第三部分对比分析逆推不平顺的效果、传递函数等。仿真流程如图3所示。

图3 仿真流程

第一部分模拟弦测过程，设置弦长为L，采样间隔为L/2，算法流程如图4所示。第二部分逆推过程的算法流程如图5所示。第三部分分别从时域上的误差与频域上的传递函数两个角度出发分析计算结果的正确性与准确性。

4 实例验证

4.1 弦测过程数值仿真

本文弦测法仿真使用的轨道不平顺数据通过美国六级轨向不平顺谱反演获得。采用文献［7］提出的方法，首先根据轨道不平顺功率谱密度与频谱幅值的关系，得出不平顺的频域幅值，并给出随机相位;然后根据实数离散傅里叶变换的共轭对称性，将频谱扩展完整;最后通过傅里叶逆变换得到轨道不平顺的模拟时域样本。不平顺样本截止波长为1～200 m，采样间隔为0.25 m。图6为美国六级轨向不平顺谱的反演样本，图7为反演样本的模拟谱与美国六级轨向不平顺谱的比较，可以看出模拟谱与美国六级轨向不平顺谱几乎完全重合。

图4 弦测法测量过程算法流程

图5 逆推轨道不平顺的迭代算法流程

图6 美国六级轨向不平顺谱的反演样本

图7 反演样本的模拟谱与美国六级谱比较

反演不平顺样本长度取为1 km，用固定0.5 m弦线以0.25 m的步长测量得到弦测值，弦测结果如图8所示。

图80 .5 m弦测值

4.2 逆推轨道不平顺

分别采用迭代算法与快速算法对弦测值进行反演。迭代算法的计算精度与迭代步数有关，对于不同的测量弦长，要达到同样的精度其迭代步数是不一样的。对于固定的轨道长度，测量弦线越短所需迭代步数越多。另外，由于迭代算法存在端点效应，本文控制精度选用的是中间80%范围内的测量数据。对1 000 m轨道长度，采用0.5 m测量弦长，并设置迭代步数为10万次，其计算效果如图9(a)所示，图9(b)为绝对误差曲线，在100～900 m范围内数据吻合得很好，而两边出现边缘效应，总体而言在100～900 m范围内误差＜0.5 mm，精度很高。

图9 迭代算法逆推不平顺与真实不平顺的对比

通过快速算法计算得到的轨道不平顺与真实不平顺的结果如图10(a)所示，绝对误差曲线如图10(b)所示。可见在整段范围内误差在1 μm以内。快速算法计算过程占用的内存远多于迭代算法，在工程中测量点过多时宜采用迭代算法。

图10 快速算法逆推不平顺与真实不平顺对比

4.3 传递函数比较

图11(a)为直接使用10 m弦线测得弦测值的传递函数，图11(b)为先测得0.5 m弦测值，再通过“以小推大”公式计算所得10 m弦测值所对应的传递函数。由于通过美国六级谱反演的不平顺截止波长为1～200 m，因而传递函数的有效范围为1～200 m。从图中可见传递函数总体较差，仅个别波长处传递函数为1，说明使用10 m弦测值不能很好地描述轨道的不平顺状态。

图11两种方法的传递函数

图12 为两种逆推算法的传递函数。图12(a)所示的迭代算法计算得到的不平顺的传递函数在1～200 m范围内在1上下波动，大部分值为1，有个别波动是由于边界效应所致。图12(b)所示的快速算法传递函数在1～200 m范围内稳定在1左右，这也验证了快速算法高精度的特点，当然这种高精度是以占用更多的计算资源获得的。

图12 两种递推算法的传递函数

5 结论

传统观点直接将弦测值作为不平顺的近似，这实质上是对弦测数据的一种极大浪费，本文研究了一种新的方法，借助测得的弦测值逆推真实的轨道不平顺，并且能够达到足够的精度，传递函数效果极好。目前，本文涉及的数学模型为理论模型，仅适用于不计测量误差时轨道不平顺的推算，对于包含测量误差的不平顺反演则需要进一步研究。

［1］罗林，张格明，吴旺青，等.轮轨系统轨道不平顺状态控制［M］.北京:中国铁道出版社，2006.

［2］罗林.轨道随机干扰函数［J］.中国铁道科学，1982，3(1): 74-100.

［3］高建敏.基于状态转移概率矩阵的轨道不平顺发展预测研究［J］.铁道建筑，2011(7):140-143.

［4］程樱，许玉德，周宇，等.三点偏弦法复原轨面不平顺波形的理论及研究［J］.华东交通大学学报，2011，28(1):42-46.

［5］毛晓君，许玉德，周宇.基于四点弦测法的轨面不平顺检测及复原方法［J］.华东交通大学学报，2013，30(5):13-17.

［6］朱洪涛，魏晖，熊瑞文，等.弦测法检测轨向不平顺的研究［J］.铁道建筑，2005(10):63-64.

［7］陈果，翟婉明.铁路轨道不平顺随机过程的数值模拟［J］.西南交通大学学报，1999，34(2):138-141.

Research on mathematical model of accurate value of track irregularity based on midpoint chord measurement method

WANG Yuan，XU Jinhui，CHEN Rong，XIAO Jieling，WANG Ping
(MOE Key Laboratory of High-speed Railway Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu Sichuan 610031，China)

Chord measuring method is a basic method for measuring track irregularity，its theory is easily understood and it is convenient，quick and effective.T raditional method is considering the chord measuring value as approximate track irregularity，which inevitably leads to the big error because of the base line changing.In order to solve this problem，a mathematical model describing the nature of midpoint chord measuring method was established，the relationship between track irregularity and the chord measuring value was discussed，an iterative algorithm and a fast algorithm for calculating accurate track irregularity value were designed，the chord measuring process was simulated by numerical simulation.T he results showed that the iterative algorithm has less overall error，the transfer function is good and the endpoint error occurs because of such reasons as number of iterations，while the fast algorithm achieves a high accuracy at the expense of computing memory，the absolute error of which is less than 1 μm，the effect of transfer function is excellent，which proves the correctness of the mathematical model and the accuracy of the calculation results.

M idpoint chord measuring method;T rack irregularity;T ransfer function;M athematical model

U216

A

10.3969/j.issn.1003-1995.2015.05.35

1003-1995(2015)05-0139-05

(责任审编李付军)

2014-09-28;

2014-12-30

国家自然科学基金——高铁联合基金项目(U1234201)

王源(1991—)，男，四川南充人，硕士研究生。