非线性分数阶发展方程耦合系统的非局部柯西问题

武旭艺

（中国矿业大学银川学院，宁夏 银川750000)

0 引言

本文研究了非线性分数阶发展方程耦合系统的非局部柯西问题

这里 0＜p，q＜1，cDp，cDq是两个分数阶导数,f，g：[0，∞）×E→E]和w：C （[0，∞）×E）→E 是已知的满足假设条件的函数,u0，v0是 Banach空间E中的元素.

Oldham和 Spanier[1]中系统的陈述了分数阶微分方程的应用,详细请参阅 Miller和 Ross[2]和 Kilbas等人的[3]

分数阶微分方程耦合系统的研究是相当重要的,很多人做了研究,参阅参考[4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14].最近,Fang[15]研究了非线性分数阶微分方程奇耦合系统正解的存在性.Su[16]讨论了分数阶微分方程耦合系统边界值问题.Ahmad和Nieto[17]研究了三点边界问题的分数阶微分方程耦合系统存在性结果.

在本文中,假设 E 是范数为|·|的 Banach 空间.令 J⊂R,C（J，E）是从J到E,范数为|的连续函数 Banach 空间,这里 x∈C（J，E）.

对于 E 上的任意强连续半群(即C0半群){T（t）}t≥0,在 E 上定义算子：

其定义域D（A）是所有E上极限存在的x集合,且是稠密的,A是闭的,详情请参阅[13].

1 预备知识

在本节中,我们将介绍文中涉及到的空间、基本定义及用到的引理（详见[18]）

设 B（E）是 E 到 E 范数为||Q||B（E）=sup{|Q（u）|：|u|=1}的所有有界线性算子构成的空间,这里Q∈B（E），u∈E.全文中,设A是E中一致有界算子 C0半群{T（t）}t≥0上的无穷小生成元.明显的,

定义1.1函数的次数为α,极限为0的分数阶积分定义如下：

假设右边是定义在[0，∞）上的点态,其中Γ(·)是 gamma函数.

定义 1.2 下界为0的阶数为α函数f∈AC[0，∞)的Riemann-Liouville导数能够被写为：

定义：1.3 阶数为α函数f∈AC[0，∞)的 Caputo导数表示为：

注记 1.1(1)如果 f（t）∈C[0，∞),则：

(2)常数的 Caputo导数等于0；

(3)如果f是值域在E的抽象函数,则：1.1—1.3中积分定义是在Bochner意义下得到的.

假设J⊂R，1≤p≤∞，对于可测函数m：J→R，定义范数

其中 μ（J¯）是J¯上的 Lebesgue 测度.令Lp（J，R）是所有范数||·||LpJ＜∞的Lebesgue可测函数m：J→R构成的Babach空间.

引理1.1 (Hölder不等式)如果|H|是 Lebesgue可积的,则可测函数 H：[0，a]→E 是 Bochner可积的.

引理1.2(Bochner'定理)如果|H|是 Lebesgue可积的,则可测函数H：[0，1]→E 是 Bochner可积的.

引理1.3(Schauder不动点定理)如果B是Banach空间E中的有界闭凸子集,F：B→B完全连续,那么F在B内有一个不动点.

2 主要结果

定义空间 X={u（t）|u（t）∈C（[0，1]，E）}和 Y={v（t）|v（t）∈C（[0，1]，E）}.依据[15]中的结论,X和Y是 Banach空间.

对（u，v）∈X×Y 令

||（u，v）||X×Y=max{||u||X，||v||Y}，

显然（X×Y，||·||X×Y）是一个 Banach 空间.

基于以上的论证,给出方程组(1.1)mild解的定义.

定义2.1若非局部的柯西问题(1.1)的解（u，v）∈X×Y满足下式：

称（u，v）是方程组(1.1)的 mild解.

定义算子 F：X×Y→X×Y,

其中

对任意的常数k,设：

显然Uk在Banach空间X×Y中是有界闭凸子集.

在证明主要结果之前,先介绍下面的假设.

（H1）对任意 t＞0，T（t）是一个紧算子；

（H2）对每个 t∈[0，1]函数 f（t，·）：X→X 和 g（t，·）：Y→Y 是连续的,任意（u，v）∈X×Y 函数 f（·，u）：[0,1]→E 和 g（·，v）：[0,1]→E 是强可测的；

（H3）对所有的（u，v）∈X×Y 和几乎所有 t∈[0，1],存在常数 p1∈

[0，p）和 和 m使得|f（t，u）|≤m（t）和|g（t，v）|

21≤m2（t）成立；

（H4） w：C（[0，1]，E）→E 是一致连续,以及对所有 x∈C（[0，1]，E）,存在正常数 L1，L2使得|w（x）|≤L1||x||+L2.

以下非局部柯西问题（1）的存在性结果是以Schauder不动点定理为基础.

定理1

定理 2.1 如果（H1）-（H4）满足,ML＜1,那么方程组（1）有 mild 解.

证明：对任意（u，v）∈Uk,由于 supt∈[0，∞）||T（t）||B（E）=M,于是：

直接计算得到, 当 t∈[0，1]和 p1∈[0，p）,令：

利用引理：1.1(Hölder不等式)和（H3）,当 t∈[0，1],得到：

类似的,有：

接下来用Schauder不动点定理,证明结果.

定义

其中

观察,Uk1显然是Banach空间X×Y中的有界闭的凸子集.下面分两部分证明F在Uk1内有一个不动点.

第一步：F：Uk1→Uk1.

对所有的（u，v）∈Uk1和 t∈[0，1],有：

类似的,有：

因此,对所有的（u，v）∈Uk1,有 F：Uk1→Uk1.

第二步：F是全连续算子.

首先,证明 F 在 Uk1内是连续的.对所有的（un，vn），（u，v）∈Uk1,n=1,2…,并且lim||（un，vn）-（u，v）||=0，得到当 t∈[0，1],lim un（t）=u，当 t∈

n→∞n→∞[0，1],lim vn（t）=v.因此,由假设（H2）,得到：

n→∞

当 t∈[0，1],lim f（t，vn（t））=f（t，v（t）），

n→∞

因此,推断出：

当n→∞，sup|f（s，vn（s））-f（s，v（s））|→0.

s∈[0，1]

另一方面,当 t∈[0，1]

这意味着

因此,

当 n→∞，||（F1vn）（t）-（F1v）（t）||→0.

即F1是连续的.同样的,得到F2也是连续的.也就是,算子F：Uk1→Uk1是连续的.

其次,证明{F（u，v），（u，v）∈Uk1}是相对紧的.这就可以证明 函数族{F（u，v），（u，v）∈Uk1}是一致有界和同等连续的.

对任意（u，v）∈Uk1有||F1v||≤k1，||F2u||≤k1,从而||F（u，v）||≤k1.因此{F（u，v），（u，v）∈Uk1}是一致有界的.在下文中,将证{F（u，v），（u，v）∈Uk1}是同等连续函数族.

对每个（u，v）∈Uk，0≤t1＜t2≤1，得到：

运用 (11)和 (12)式中类似的证明,得到：

当 t1=0，0＜t2≤1，很容易得到 I3=0.当 t1＞0,ε＞0 足够小,当 θ∈(0,∞),有：

由于（H1）表明 T（t）（t＞0）连续,推断出 F1是同等连续的.类似的,F2也是同等连续的,因此,F（Uk1）是同等连续的.当 t2-t1→0，与（u，v）∈Uk1无关,|（F1v）（t1）-（F1v）（t2）|趋近于零.这意味着{F（u，v），（u，v）∈Uk1}是同等连续的.

因此,由 Ascoli-Arzela 定理,{F（u，v），（u，v）∈Uk1}是相对紧的.从而,F 的连续性和{F（u，v），（u，v）∈Uk1}的相对紧性意味着 F 是完全连续算子.显然,F映射Uk1自身到自身.因此,Schauder不动点定理 表明F在Uk1内有一个不动点,这意味着非局部柯西问题(1)有一个mild解.证毕.

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