微元思想在大学物理的应用

刘 扬

（沈阳工业大学基础部，辽宁 辽阳 111003）

0 引言

中学物理只能解决常量和恒矢量等简单特殊的一类物理问题，依靠初等数学和物理概念就可以解决；大学物理解决的是更具一般性复杂的变量问题，采用微积分的思想和方法解决复杂变化的问题，使大学物理相比于中学物理有质的飞跃。相对于高等数学只注重微积分性质和计算，大学物理侧重于应用微积分对物理模型的建立。其中最关键的是如何应用微元思想恰当的选取微元，以体现元过程，元作用和元贡献，是学生学习的重点也是难点[1]。

1 微元思想

对所研究问题的区间进行无限分割，在分割后足够小的区间内选择微元，变化的物理量就可以近似看作常量或者恒量，这样把复杂变化的物理问题转化为简单特殊的物理模型，然后对分割后的所有区间累加求和，应用定积分的思想来解决实际问题。

1.1 如何选取微元

选取微元的目的是把变化的物理量在分割后的区间内近似为不变的物理量，把不均匀的物理量在分割后的区间内近似为均匀的物理量，把曲线在分割后的区间内近似为直线。如图1万有引力的功的计算。质量为m的物体在质量为M物体的引力场中，沿路径L由A点（r⇀

1）运动到 B 点（r⇀2）所做的功[2]。 设C为曲线上任意一点，质点M在C点受到的万有引力C 处于不同的位置，F⇀的大小和方向都不同。用中学方法无法之间求解，应用微积分思想把路径无限分割成无限多的小区间dl，在dl内F⇀大小近似相等，方向一致，此时变力转化为恒力，由于dl足够小，曲线近似为直线，在区间dl内F⇀的元功dW=F cosθdl=F⇀·dr⇀，然后对所有区间累加求和，即对每个区间的元功积分有

图1

图2

图3

1.2 微元选取不唯一时应考虑构造的被积函数尽可能简单，并且能用一元积分就不用重积分，能用线积分就不用面积分。如图2求电荷面密度为σ的均匀带电薄圆盘在其轴线上x处的场强分布，设圆盘半径为R。如果把圆环在直角坐标系下分割成无限小区间ds=dxdy或者在极坐标下分割为ds=ρdρdθ，直角坐标系下构造的被积函数表达式复杂，积分难度大；极坐标系下，由于距离不同，被积函数难以构造。

因此我们采用转化的思想分两步求解，第一步先求半径为R带电量为q的均匀带电细圆环轴线上任一点x的场强分布。取如图3所示坐标系，设P点距离环心O的距离为x，在环上取微元段dl，所带电量为dq=在 P 点产生的场强为r，由于电荷分布的对称性可知圆环上各电荷元在P点激发的场强dE⇀分布也具有对称性，即dE⇀大小相等，方向分别沿顶角为2θ的圆锥面母线方向。因此，dE⇀沿垂直于x轴方向的分量dE⇀⊥相互抵消，即E⇀⊥=0。而各电荷元在P点的场强dE⇀沿x轴的分量dE⇀‖都具有相同的方向， 且dE⇀

x=dE⇀cosθ， 故P点的场强为，方向沿x轴。

第二步再把带电圆盘可以看作是许多带电细圆环组成，取半径为r，宽为 dr的细圆环，此环带的电荷为 dq=σds=σ·2πrdr，应用均匀带电圆环轴线上一点场强分布方向沿 x 方向）[3]，可以用一元积分解决。设选取的圆环距离中心不同，半径r不同，圆环所带电量不同，所以d都是沿x方向，对所有圆环的

2 结论

微元思想的贯穿于大学物理的多个章节，学会应用微元思想恰当的构造物理模型，确定积分上下限，求解更为复杂的物理问题对初学者显得尤为重要。

［1］韩风华.谈物理学解题的微积分应用[J].现代物理知识,2000(增刊)：151-152.

［2］王少杰,顾牧.新编基础物理学[M].高等教育出版社,2009：41-42.

［3］马文蔚,等.物理学[M].高等教育出版社,2006：159-160.