关于二维连续型随机变量中的积分计算问题

陈向阳

摘 要：本文主要讨论了概率论中二维连续型随机变量分布的积分计算问题，并给出了求解此类积分的步骤与简单实用的方法。

关键词：二维随机变量;重积分;计算

一、引言

概率论中积分的计算是学生深感头疼的问题。对于一维连续型随机变量分布的积分基本没问题，但对于二维连续型随机变量的分布，很多学生就不知所措了。因此，本文对概率论中二维连续型随机变量中重积分的计算进行归纳整理，得出简单实用的计算方法。

二、二维连续型随机变量中积分的计算

1.二维连续型随机变量中概率的计算

命题1：设（X，Y）的联合概率密度为f（x，y），D为xoy平面上的区域，则（X，Y）落入D内的概率为P{（x，y）∈D}=■f（x，y）dxdy。

求上述概率的关键在于二重积分的计算。事实上，只需三步即可准确无误地计算出结果，第一步，画出f（x，y）的非零区域的图形，第二步，画出平面区域D与上述非零区域的公共部分区域;第三步，根据公共部分区域的形状定出x，y的积分限计算二次积分即可。

例1：设二维随机变量（X，Y）具有概率密度

f（x，y）2e-（2x+y） x>0，y>00   其他

求概率P{Y≤X}。

第一步，画出f（x，y）的非零区域的图形（第一象限整个区域）;第二步，画出区域D：Y≤X的图形与f（x，y）的非零区域的公共部分区域（第一象限的角平分线下方部分区域），第三步，根据其为X型区域，分别定出x，y的积分限为{0<x<+∞，0<y<x}。

2.二维连续型随机变量中边缘概率密度的计算

命题2：设（X，Y）的联合概率密度为f（x，y），则X和Y作为一维连续型随机变量，其边缘概率密度分别为fX（x）=■f（x，y）dy和fY（y）=■f（x，y）dx。

计算边缘概率密度的关键是计算上述积分，下面以例子来说明积分方法和步骤。……