关于高等数学教学中部分知识点的探讨①

陈 茜

(中南林业科技大学理学院，湖南长沙10004)

教学授课是一个非常灵活的过程。教师在讲授课本知识的基础上，能够根据教学目标、教学对象、课堂气氛等的需求，及时引入、总结一些教学知识点，会使得教学课堂更丰富，教学对象更受益。为此，我们讨论了高等数学教学中的几个知识点。

1 函数极限教学的调整

极限概念的教学是从数列极限开始的［1］。数列是特殊的函数，在于它的变量只能取正整数，所以数列的极限只讨论n 趋于正无穷时数列收敛的情况。但对于广义上的函数来说，除了x →+ ∞，还有x→- ∞，x →∞，x →a，x →a-，x →a+这5 种方式。那么在学习数列极限的基础上，再引入函数极限时，可首先引入x →+∞时函数的极限。原因在于:两者的自变量都在趋于正无穷，只要将数列自变量取离散正整数的状态推广为连续状态下的正实数，就过渡到了函数的极限。

但在同济版高等数学教材［2］中引入函数极限是从x →a 开始的，随后才是x →∞。这样就将数列和函数在无穷下的极限联系断开，不利于极限概念的深入理解和巩固。

2 等价无穷小替换在幂指函数极限中的应用

对幂指函数求极限，除了教材中涉及到的对数法、恒等变形法来求解外，有很多同学还会有这样的疑问:能否运用等价无穷小替换原理求解，尤其是针对00的未定式。

实际上，如果f(x)和g(x)在x0的某一去心邻域内为连续函数，当x →x0时，若f(x)→0，g(x)→0 且，则

其实对于1∞和∞0这2 种未定式，间接利用上面的结论同样可以得到有效的结论。如:

3 有理函数积分的常见类型

有理函数分为假分式和真分式2 种情况。假分式一般通过多项式的除法可化为整式和真分式。所以有理函数的积分最实质的就是真分式的积分。如果真分式中的分母可以分解因式，真分式必可裂为部分分式之和。最后，真分式的部分分式中只出现和为二次质因式)等两类函数。

在同济第6 版高等数学有理函数的积分教学中［2］，认为P1(x)为小于k次的多项式，P2(x)为小于2l次的多项式。我们认为这样的叙述有失严谨性，因为P1(x)到底应是k -1次的，还是k -2次的，还是……，在解题中学生无法清晰把握;对于P2(x)也是同样的情况。实际上将部分分式通分，与原真分式相等下比较分子中x 的幂会得到:P1(x)应是(k-1)次的多项式;P2(x)应是(2l-1)次的多项式。对部分分式中常见的类型:

以上为有理函数积分中常见的三类形式。在具体的题解中这几种形式常常交错出现，使得积分看似繁琐，但掌握其规律并多加练习后就会得心应手。

4 微分方程和重积分对称性题目的引入

像这样隐藏初始条件于表达式中，同时还先需求导再明了为微分方程的题目，比较少见。如果能在实际的课堂教学中提出这样的题目给学生思考、求解再总结，这对于学生知识的联系性、思维的发散性和基础功的巩固都非常有利。同样，在现有的教材中对于二重积分知识点的教授没有涉及对称性，但在有些题目中如果利用二重积分的对称性，势必会做到事半功倍。

由二重积分的对称性，第二项积分为零(D 关于y 轴对称，f(x，y)= xy 为x 的奇函数)，使得求两个积分减化为求一个积分，简化了计算过程，提高了做题效率。因此，在课堂教学时如果能适当添加这个知识点，并给出几个具体的题目练一练，不但能丰富同学的积分知识，又可为考研这样的大型考试添砖加瓦。

［1］刘玉琏，付沛仁．数学分析讲义［M］．北京:高等教育出版社，1995．

［2］同济大学数学系．高等数学［M］．6 版．北京:高等教育出版社，2008．

［3］陈茜，舒慧颖．浅析幂指函数的极限问题［J］．衡水学院学报，2011(4):8－9．

［4］郝海龙．考研数学复习大全(历年统考真题分类训练)［M］．北京:北京航空航天大学出版社，2014．