例谈几何概型中“区间长度”的定位

何军海

一、问题出在哪里？

这是一节关于几何概型（人教社高中数学必修3）的习题课，在回顾了几何概型的概念和几何概型中事件A的概率的计算公式之后，作为课堂探究与研讨，我在黑板上写下这样一道题：

（2011·湖南高考改编）已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25.

（1）求圆C的圆心到直线l的距离;

（2）求圆C上任意一点A到直线l的距离不大于2的概率.

六个小组经过积极研讨后，有一个小组未能得出完整结果，其余五个提交了各自的解答.其中有两个小组的解答如下：首先直接用点到直线的距离公式，计算出圆心C到直线l的距离为5，而圆的半径为2 ，因此圆C上任意一点A到直线l的距离d∈[5-23，5+23]，而题目要求点A到直线l的距离不大于2，即满足条件的d ∈[5-23，2]，因此：P（A）=2-5+235+23-5+23=23-343.

另外三个小组的解答如下：第一步与前面两个小组

一样，容易求得圆心C到直线l的距离为5，然后作一条平行于直线l，并且圆心到其距离为3的直线，与圆

C相交，将圆分成优弧与劣弧两部分.由半径为23，圆心到直线l的距离为3可知劣弧所对圆心角为π3，从而所求的概率为：P（A）=π32π=16.（如图）

出现这样的结果，作为老师，预先还真没有想到，备课时，只是考虑如何将正确的解答给学生讲清楚，没想到“半路会杀出程咬金”，第一种结果的出现，必须要求老师快速做出反应：问题出在哪了？而作为学生，同一问题，出现两种不同的解答，并且结果也大相径庭，按照常规的数理逻辑，至少有一个是错的，那自然会积极思考：问题出在哪了？

二、真相浮出水面

理不辨不明.新课程教学……