素环上的广义内导子*

冯 骥

(吉林师范大学 数学学院，吉林 长春 130103)

素环上的广义内导子*

冯 骥

(吉林师范大学 数学学院，吉林 长春 130103)

讨论了素环理想上广义内导子的交换性.设R是一个素环,I为R的一个非零理想,Fa,b(x)为R的一个非零广义内导子,Ib(x)为其伴随内导子,其中a,b是R中的固定元素,并有Fa,b(x)=0或Ib(x)≠0,讨论满足Fa,b(xοy)=xoy或Fa,b(xoy)+xoy=0时R的交换性.

素环;广义内导子;交换性

1 研究背景

环上导子交换性的探究开始于Posner[1]，1957年，他证明了非零中心化导子的素环一定为交换环.近些年来，很多学者在Posner的启发下继续研究了环上导子的交换性问题[2-6]，对环的研究具有重要影响.

2002年,Ashraf和Rehaman[7]证明了对任意的x,y∈U,都有d(xοy)=xοy或d(xοy)+xοy=0的情况，本文将其推广到广义内导子上，得到若干结果.

2 相关定义及引理

定义1[8]设R是任意结合环,d是环R到自身的一个加性映射.如果对任意x,y∈R均有d(xy)=d(x)y+xd(y),则称d为环R上的导子.

定义2[9]设R是任意结合环,g是环R到自身的一个加性映射,若存在R上的导子d使得对任意的x,y∈R均有g(xy)=g(x)y+xd(y),则称g为环R上的广义导子,d为g的伴随导子.

定义3[10]设R是素环,d是R上的一个导子.对一固定元素a∈R,映射Ia:R→R,Ia(x)=[x,a]是一个导子，称其为R上的一个内导子.一个加性映射Fa,b:R→R称为是R上的一个广义内导子,若Fa,b(x)=ax+xb,a,b是R中的固定元素.

引理1 如果一个素环R包含一个非零的可交换的右理想,那么R也是可交换的.

引理2[11]Z为环R的中心，d为R的导子，则d(Z)⊆Z.

四个基本恒等式

[x,yz]=y[x,z]+[x,y]z,
[xy,z]=x[y,z]+[x,z]y,
xο(yz)=(xοy)z-y[x,z]=y(xοz)+[x,y]z,
(xy)οz=x(yοz)-[x,z]y=(xοz)y+x[y,z].

3 主要结果

定理1 设R是一个素环,I为R的一个非零理想,Fa,b(x)为R的一个非零广义内导子,Ib(x)为其伴随内导子,其中a,b是R中的固定元素,并有Fa,b(x)=0或Ib(x)≠0,如果对任意的x,y∈I,都有Fa,b(xοy)=xοy,那么R是……