一类两时滞商业周期模型的稳定性和Hopf分支分析

李旭辉

(上海交通大学 安泰经济管理学院，上海 200030)

0 引言

随着微分方程被广泛地应用于生态、经济等领域，国内外学者已经建立了许多能够反映动力系统特性的微分方程模型[1-7]。通过研究相应模型的性质，确定所研究系统的演变规律。在文献[1-3]中，田立新等人利用微分方程模型研究了能源经济系统的动力学性质，并给出能源经济系统的相关结论。在田立新等人工作的基础上，吕堂红[5]考虑到能源“垄断效应”对能源价格震荡造成的影响，进一步研究了具有了两个时滞的能源价格模型的稳定性和Hopf分支问题。在文献[6]中，于晋臣等人研究了如下商业周期模型：

于和彭等[4]利用时滞τ作为分支参数讨论了平衡点的稳定性和Hopf分支存在的充分性条件。进而利用多时标法计算出了模型(1.2)中心流形上的标准形。

近年来，已经有不少国内外研究学者对具有多个时滞的动力系统的稳定性和Hopf分支问题进行了研究[5,8-10]。在文献[8]中，Bianca等人考虑了一类具有两个时滞的经济增长模型，研究了两个时滞对模型的影响。受以上工作启发，本文在系统式(2)的基础上考虑如下两时滞商业周期模型：

1 模型稳定性和Hopf分支存在性

显然，E*(0，0)是系统式(3)的平衡点。将系统式(3)在平衡点E*(0，0)处线性化，得到，

根据系统式(3)的各参数的经济学含义可知，μ＞0，a＞0.因此，根据赫尔维茨稳定性判据，平衡点E*(0，0)是局部渐近稳定的。

根据以上分析，以及文献[11]中的Hopf分支存在性定理，我们有下列结果。

定理 2.1.对于系统 式(3),当 τ1∈[0，τ10)时，平衡点E*(0，0)渐近稳定；……