Banach空间中广义f投影算子的稳定性

李 曦

(西华大学理学院，四川 成都 610039)

·基础学科·

Banach空间中广义f投影算子的稳定性

李 曦

(西华大学理学院，四川 成都 610039)

广义f投影算子是求解变分不等式问题的重要工具。 本文在Banach空间中研究当混合项f和约束集K同时扰动时广义f投影算子的稳定性。

变分不等式；广义f投影算子；Hausdorff距离；凸性模；光滑模

众所周知，变分不等式产生于工程学、金融管理科学和物理学等领域，它在最优化理论、力学、控制论、微分方程、经济数学和交通均衡等领域有着广泛的应用[1-8]。变分不等式理论中重要而有趣的问题就是研究有效的方法求解变分不等式问题。近年来，投影方法逐渐成为求解变分不等式问题的重要方法之一，并取得了重要的进展。

Hilbert空间中的度量投影算子具有单调性、非扩张性和最佳逼近等良好性质，然而，Banach空间中的度量投影算子并不具备这些良好性质；因此，在1994年，Alber[1]在一致凸一致光滑的Banach空间中引入了广义投影算子πK:X*→K和ΠK:X→K，并且给出了它们类似Hilbert空间中度量投影算子的许多性质。在1996年，Alber[2]研究了广义投影算子πK:X*→K和ΠK:X→K关于集合K扰动的稳定性，并且借助于广义投影算子来计算变分不等式和Von-Neumann交问题的近似解。在2005年，Li[8]将广义投影算子从一致凸一致光滑的Banach空间推广到自反的Banach空间。随后，Abler[3]研究了一类迭代逼近算法关于算子和约束集同时扰动的稳定性。

在2006年，Wu等[9]在Banach空间中引入了一类新的广义f投影算子，并且给出此类算子的一些基本性质，他们的投影算子推广了Abler[1]引入的广义投影算子。此后，Wu和Huang继续研究广义f投影算子，他们在文献[10]中证明了广义f投影算子是极大单调算子，在文献[11]中借用广义f投影算子的性质得到了广义集值变分不等式和广义似变分不等式解的存在性理论。在2009年，Fan等[12]进一步完善了广义f投影算子的基本性质，并且得到了Banach空间中非紧子集上广义变分不等式解的存在性结果。最近，Li等[14]在Banach空间中研究了广义f投影算子关于集合扰动的稳定性。

受上述工作的启发，本文我们将在Banach空间中继续研究广义f投影算子。在一定条件下，我们证明了广义f投影算子关于混合项f和约束集K同时扰动的稳定性质。

1 预备知识

设X是一个Banach空间，其对偶空间为X*，〈·，·〉为X与X*之间的对偶。X上的凸性模函数和光滑模函数分别定义为:

ε2δ(η)≥(4L)-1η2δ(ε),∀η≥ε>0，

其中,L是Figiel不等式中的系数[13]。

设X是光滑的Banach空间，我们知道正规对偶映象J是单值映象，正规对偶映象的定义为

Jx={x*∈X*∶〈x,x*〉=‖x‖2=‖x*‖2},∀x∈X。

设

Gf∶X*×K→R∪{+}∶Gf(φ,ξ)=‖φ‖2-2〈φ,ξ〉+‖ξ‖2+2ρf(ξ)，

其中:K是X的一个非空闭凸子集;ξ∈K,φ∈X*,ρ>0;f:K→R∪{+}是真凸下半连续泛函。现在我们回顾广义f投影算子的定义和它的基本性质。

定义1[9]设X是光滑的Banach空间，K是X的一个非空闭凸子集，广义f投影算子定义为

引理1[9]设X是自反光滑的Banach空间，K是X的一个非空闭凸子集，那么

引理2[4]设X是严格凸的Banach空间，那么对任意的x,y∈X，

〈Jx-Jy，x-y〉≥(2L)-1C2δ(‖x-y‖/2C)。

引理3[14]设X是一致凸光滑的Banach空间，K是X的一个非空闭凸子集，f:X→R∪{+}是凸的一致连续泛函。如果n=0⊂X是一族非空闭凸子集，使得f在每个Kn上是真的，并且当n→+时H(Kn,K)→0，其中H(·,·)为Hausdorff距离

2 广义f投影算子关于混合项f和约束集K的稳定性

由广义f投影算子的定义，我们知道广义f投影算子比Abler[1]研究的广义投影算子多了混合项泛函f。本节我们将研究广义f投影算子关于混合项f和约束集K同时扰动时的稳定性。

定理1 设X是严格凸自反光滑的Banach空间，K是X的一个非空闭凸子集，f1,f2:K→R∪{+}是真凸下半连续泛函。对任意的x∈X，令，那么

‖x1-x2‖≤2Cδ-1[2ρLC-2|(f1-f2)(x2)-(f1-f2)(x1)|]。

证明 由引理2可知

(1)

(2)

(3)

由式(2)和式(3)可知

〈Jx1-Jx2，x1-x2〉≤ρ|(f1-f2)(x2)-(f1-f2)(x1)|，

(4)

从而由式(1)可得

如果X是一致凸自反光滑的Banach空间，并且存在C>0使得‖x1‖

〈Jx1-Jx2，x1-x2〉≥(2L)-1C2δ(‖x1-x2‖/2C)。

从而由(4)可得

(2L)-1C2δ(‖x1-x2‖/2C)≤ρ|(f1-f2)(x2)-(f1-f2)(x1)|，

‖x1-x2‖≤2Cδ-1[2ρLC-2|(f1-f2)(x2)-(f1-f2)(x1)|]。证毕。

定理2 设X是一致凸自反光滑的Banach空间，Kn,K⊂X是非空闭凸子集，fn,f∈X*,n=0，1,2,…。 如果f是一致连续泛函， 在每个Kn上是真的，并且当n→+时，H(Kn,K)→0，‖fn-f‖→0。那么对任意的x∈X，

证明 下面我们分两步证明：

Gfn(Jx,xn) =‖x‖2-2〈Jx,xn〉+‖xn‖2+2ρfn(xn)=

‖x‖2-2〈Jx-ρfn,xn〉+‖xn‖2≥

‖x‖2-2‖Jx-ρfn‖‖xn‖+‖xn‖2=

(‖xn‖-‖Jx-ρfn‖)2+‖x‖2-‖Jx-ρfn‖2。

(5)

Gfn(Jx,xn) ≤Gfn(Jx,yn)=‖x‖2-2〈Jx,yn〉+‖yn‖2+2ρfn(yn)≤

(‖x‖+‖yn‖)2+2ρ‖fn‖‖yn‖。

(6)

由式(5)和式(6)可知

(‖xn‖-‖Jx-ρfn‖)2+‖x‖2-‖Jx-ρfn‖2≤(‖x‖+‖yn‖)2+2ρ‖fn‖‖yn‖。

(7)

由于当n→+时，‖fn-f‖→0并且，我们知道n=0和n=0均有界。所以(7)表明n=0有界。特别地，将上述证明过程中的每个fn替换成f，我们将得到也是有界的。那么存在M>0使得‖‖≤M，‖‖≤M。

(8)

(9)

对任意的n∈N,有

这就表明，当n→+时，。

如果对任意的x∈X，fn(x)=f(x)=0，那么广义f投影算子就退化为广义投影算子。定理2表明广义投影算子当集合K扰动时是稳定的，Abler在文献[2]中首次研究了这类广义投影算子关于约束集合时的稳定性。

根据定理2，我们将很容易得到广义f投影算子只有混合项扰动的稳定性质。

推论1 设X是一致凸自反光滑的Banach空间，K⊂X是非空闭凸子集，fn,f∈X*,n=0，1,2,…。如果f在每个K上是真的，并且当n→+时，‖fn-f‖→0。那么对任意的x∈X，

[1]AlberYa.GeneralizedProjectionOperatorsinBanachSpaces:PropertiesandApplications,in:ProceedingsoftheIsraelSeminar,Ariel,Israel,Funct[J].DifferentialEquation, 1994, 1: 1-21.

[2]AlberYa.MetricandGeneralizedProjectionOperatorsinBanachSpaces:PropertiesandApplications,in:A.G.Kartsatos(Ed.),TheoryandApplicationsofNonlinearOperatorsofAccretiveandMonotoneType[M].NewYork:MarcelDekker, 1996: 15-50.

[3]AlberYa.OntheStabilityofIterativeApproximationstoFixedPointsofNonexpansiveMappings[J].JMathAnalAppl, 2007, 328: 958-971.

[4]AlberYa,YaoJC.AnotherVersionoftheProximalPiontAlgorithminaBanachSpace,NonlinearAnal[J].TMA, 2009, 70: 3159-3171.

[5]BaiocchiC,CapeloA.VariationalandQuasi-VariationalInequalities[M].NewYork/London:ApplicationtoFreeBoundaryProbles, 1984.

[6]MaingePE.ProjectedSubgradientTechniquesandViscosityMethodsforOptimizationwithVariationalInequalityConstraints[J].EurJOperRes, 2010, 205: 501-506.

[7]XiaFQ,HuangNJ，LiuZB.AProjectedSubgradientMethodforSolvingGeneralizedMixedVariationalInequalities[J].OperResLett, 2008, 36: 637-642.

[8]LiJ.TheGeneralizedProjectionOperatoronReflexiveBanachSpacesandItsApplication[J].JMathAnalAppl, 2005, 306: 377-388.

[9]WuKQ,HuangNJ.TheGeneralisedf-ProjectionOperatorwithanApllication,Bull[J].AustralMathSoc,2006, 73: 307-317.

[10]WuKQ,HuangNJ.PropertiesoftheGeneralizedf-ProjectionOperatorandItsApplicationsinBanachSpaces[J].ComputMathAppl, 2007, 54: 399-406.

[11]WuKQ,HuangNJ.TheGeneralizedf-ProjectionOperatorandSet-valuedVariationalInequalitiesinBanachSpaces[J].NonlinearAnalTMA, 2009, 71: 2481-2490.

[12]FanJH,LiuX,LiJ.IterativeSchemesforApproximatingSolutionsofGeneralizedVariationalInequalitiesinBanachSpaces[J].NonlinearAnalTMA, 2009, 70: 3997-4007.

[13]FigielT.OntheModuliofConvexityandSmoothness[J].StudiaMat, 1976, 56(2): 121-155.

[14]LiX,HuangNJ,ZouYZ.OntheStabilityofGeneralizedf-ProjectionOperatorswithanApplication[J].ActaMathematicaSinica,ChineseSeries, 2011, 54(5): 811-822.

(编校：叶超)

The Stability of Generalized F-projection Operators in Banach Spaces

LI Xi

(SchoolofScience,XihuaUniversity,Chengdu610039China)

The generalizedf-projection operator is an important and useful tool for solving variational inequality problems. In this paper, we study the stability of generalizedf-projection operators when the constraint setKand the mappingfare simultaneously perturbed.

variational inequality; generalizedf-projection operator; Hausdorff distance; modulus of convexity；modulus of smoothness

2015-01-13

四川省教育厅资助科研项目(14ZB0130)；国家自然科学基金数学天元基金项目(11426180)

李曦(1987—)，女，讲师，博士，主要研究方向为最优化理论和非线性分析。

O178 ；O177.2

A

1673-159X(2015)05-0055-04

10.3969/j.issn.1673-159X.2015.05.010