基于状态转移-混合Copula模型的量价关系分析

江松明,王 沁,刘 洋

(1．西南交通大学数学学院,四川 成都 610031;2.成都协信置业有限公司，四川 成都 610056)

·基础学科·

基于状态转移-混合Copula模型的量价关系分析

江松明1,2,王 沁1,刘 洋1

(1．西南交通大学数学学院,四川 成都 610031;2.成都协信置业有限公司，四川 成都 610056)

利用混合Copula的权重与参数在不同状态之间的转移，构建一种基于状态转换的混合Copula模型，对相依变量之间上尾下尾的非对称结构的转换进行描述。利用该模型对上证指数和房地产板块指数进行实证研究,结果发现：整体上量价之间呈现出上尾高下尾低的非对称结构，当股市由低波动状态转向高波动状态后，量价之间的尾部结构相关程度显著增强，且下尾结构所占比例也明显增加，这种相依关系对于了解股市的信息传导机制与微观结构有重要意义。

状态转移；混合Copula模型；极大似然估计；量价关系

近几年来，我国的CPI指数(消费者物价指数)一直处于历史高位，市场面临了一定的通胀压力。随着金融市场的不断完善及投资方式的多样化，广大投资者为了使自己的资产达到保值增资的目的，进入股票市场的资金越来越多。企业也把目光放在了股票市场，通过股票市场来拓宽融资渠道，降低融资成本，保证企业正常运营。

自Obsborne[1]在1959年发表《Brownian Motion in the Stock Market》论文之后，国外研究者就慢慢开始对量价关系进行了大量的研究。Nelson[2]于1999年较为系统地概括了Copula理论。Hu Ling[3-4]提出了混合Copula模型，也就是把不同的Copula函数进行线性组合，如此一来保留了各个Coupla模型的特征，从而能够更好地捕捉到金融资产组合的相关结构。Longin等[5]通过利用极值相关理论对欧美等股市进行研究，发现收益率的极值相关存在非对称性，在牛市下比熊市下要弱。国内在这方面的研究已经有很多文献[6-8]，大多数是基于普通的常相关Copula模型和时变Copula模型来进行研究的。Hamilton[9]在1994年提出了含状态转移模型，之后又被广泛应用于金融时间序列[10]之上。

本文针对股票市场中量价关系的金融特征，引入了一种含状态转移的Copula模型，并在此模型上对股市量价关系进行了实证分析。

1 状态转移的混合Copula模型

首先介绍构建状态转移混合Copula模型的步骤：

第1步：边缘建模——分别对收益率序列与成交量序列建立GARCH模型；

第2步：把收益率序列与成交量序列的GARCH模型的残差用概率积分变换成[0,1]均匀分布；

第3步：选择可以最能描述随机变量之间相关结构的Copula函数，联合建模。

1.1 边缘分布

大量研究表明，股市中的成交量与收益率具有波动聚集性和尖峰厚尾性等特征，所以利用GARCH-t模型分别估计成交量与收益率的边缘分布函数，给出一般的GARCH-t(1,1)模型如下：

(1)

其中：et服从t分布；模型中yt分别可设为成交量序列与收益率序列。

1.2 含状态转移的混合Copula模型

在量价关系研究中，混合Copula模型能够较好地刻画它们之间的非线性和非对称性等特性，然而在不同状态下，成交量与价格之间的相关性结构是必然会发生变化的。例如，在牛市中，当价格大幅走高必会导致成交量的增大；在熊市中，价格的剧烈下跌，不一定就会伴随着成交量的减少。

显而易见，单一状态下的混合Copula模型已不能满足对多变的证券市场的量价分析，所以在混合Copula模型中引入了一个含状态转移的量，使其在不同状态下，能够更好地描述成交量与价格之间的相关性及其波动。

状态转移的混合Copula模型(MRS-Mixture-Copula的表达式为

(2)

含状态变量的Gumbel Copula和Clayton Copula的表达式为

(3)

其中，Λ=[(-ln(ut))αt,st+(-ln(vt))αt,st]。

(4)

2 状态转移的混合Copula模型的参数估计方法

两状态的MRS-Mixture-Copula模型的待估参数为

θ=(λ1,λ2,α1,α2,β1,β2,p11,p12,p21,p22)。

这些参数满足以下条件：

1)根据模型定义当St=1时将λ1,α1,β1都要附上初始值；同理当St=2时将λ2,α2,β2都要附上初始值。以此带入程序中循环得到最优值。

2)λ1,λ2∈[0,1] ；p11+p12=1;p21+p22=1;pij≥0,i,j=1,2。

SETP1当t=1，给定p(St-1|ut-1,vt-1,…,u1,v1)的初始值，本文设定它等于任何给定时期的无条件概率，并计算联合概率

p(St,St-1|ut-1,vt-1…,u1,v1)=pij×p(St-1|ut-1,vt-1…,u1,v1)，

(5)

STEP2 计算联合概率密度函数

p(St,St-1,ut,vt|ut-1,vt-1…,u1,v1)=

p(St,St-1|ut-1,vt-1…,u1,v1)·c(ut,vt|St,St-1,ut-1,vt-1…,u1,v1,θ)

(6)

其中ut,vt服从[0,1]均匀分布。

STEP3计算

(7)

其中

c(ut,vt,St|St-1,ut-1,vt-1,…,u1,v1,θ)=

(8)

STEP4 根据STEP3计算对数似然函数的值，如下：

STEP5 让t=t+1，并计算概率

(9)

3 实证分析

本文选取了2009年1月5日至2013年12月31日的证券市场中上证指数(SZ)和房地产板块指数(DC)的收盘价格和成交量为统计样本，分为2组，一组共计2 422个数据(样本数据来自于大智慧数据库)。

3.1 边缘模型的参数估计

将对收益率序列和成交量序列都建立GARCH-t模型，以此来刻画它们所具有的金融特征。表1、表2分别给出了2只股票收益率序列与成交量序列在GARCH-t模型下的各个参数的估计值。

注：括号里的数值表示参数估计值相对应的标准差

注：括号里的数值表示参数估计值相对应的标准差

由表1和表2可以看出，所有参数的值均是显著的，那么选择GARCH-t模型是合理的。

3.2 状态转换混合Copula的参数估计及分析

图1、图2为2只股票的各个序列经过标准化处理得到[0,1]均为分布后的收益率与成交量的散点图。

图1 上证指数收益率与成交量散点图

图2 房地产板块指数收益率与成交量散点图

从图1、图2可知，上证指数和房地产板块指数的收益率与成交量之间的相关关系是比较复杂的，不仅存在正相关关系，而且也包含了负相关关系。图中的各个散点大多数集中在主对角线和副对角线上，这也反映出收益率与成交量之间的相关结构存在正负相关的情况。

2只股票的收益率与成交量2个序列同时取极大值的概率比较大。当股市处于牛市或者熊市时，收益率与成交量正、负相关性会有所加强。那么，在构建Copula模型时，要选取出能够反映量价之间这样一些相关特性的混合模型，同时还要分出股市的不同波动状态下的量价关系；所以在模型由对上尾相关结构敏感的Gumel函数和对下尾相关结构敏感的Clayton函数组成，期间还加入两状态的状态转换，以此来刻画股市不同状态下的量价关系。各序列的状态转换混合Copula的参数估计值如表3所示。

根据表3中的参数值，再计算出股市波动率分别处于状态1和状态2的无条件概率，用P1和P2表示，其中P1=(1-p22)/(2-p11-p22)，p2=(1-p11)/(2-p11-p22)，结果如表4所示。

首先分析上证指数与房地产板块指数各自的收益率与成交量的量价模型的参数，从表3和表4中的第2列、第3列的模型参数估计值可知。

1)在波动状态方面与之前MRS-GARCH建模时对上证指数量价的分析结果相差不多，p11,p22的值都比较大，同时p11>p22，则可认为股市处于低波动状态的持续时间长于处于高波动状态的持续时间。p12、p21的值较小，p21>p12，相对来说，中国股市很容易从高波动状态向低波动状态转换。p1>p2表明了中国股市处于低波动状态的概率较大。而在房地产板块指数的量价关系模型中，其波动率的状态无条件概率的数值大小恰恰与上证指数的相反——p1

2)就量价关系的相关结构方面而言，无论股市处于低波动或者高波动时，上证指数和房地产板块指数都体现出上尾高而下尾低的非对称结构关系，且房地产板块指数的Gumbel函数与Clayton函数的参数值都大于上证指数。当处于低波动状态时，上证指数Gumbel函数的权重系数大于Clayton函数的权重系数，房地产板块指数Gumbel函数与Clayton函数的权重系数却相差无几。当处于高波动状态时，2只股票的Gumbel函数的权重系数都相应减小，而Clayton函数的权重系数随之增加，表明收益率与成交量之间的下尾结构显著增强；与此同时，二者的Gumbel函数与Clayton函数的参数值也明显的增大，意味着在股市剧烈波动时，二者之间的上尾结构与下尾结构的关联程度同时加强。一状态各个密度函数图如图3—6所示。

图3 一状态SZ(R),SZ(V)混合Copula密度函数图

图4 一状态DC(R),DC(V)混合Copula密度函数图

图5 一状态SZ(R),DC(V)混合Copula密度函数图

图6 一状态DC(R),SZ(V)混合Copula密度函数图

然后再来分析上证指数与房地产板块指数之间的收益率序列与成交量序列交叉的相关结构关系，简而言之就是分析板块对大盘的量价关系影响和大盘对板块的量价关系影响。从表3和表4的第4列、第5列的参数估计值可以得出：整体来说，它们之间还是出现了上尾高的非对称相关结构关系，且Gumbel函数的参数值大于Clayton函数的参数值；在低波动状态时，二者模型中Gumbel函数的权重系数要大一些；当股市从低波动状态转入高波动状态时，它们Clayton函数的权重系数随之增加，并且Cumbel函数、Clayton函数的参数值也一并变大，意味着在高波动状态时，虽然它们之间的上尾结构与下尾结构的相关程度明显加强，但是主体上体现出下尾的结构更为显著。与之不同的是，在大盘对板块的量价关系影响中，大盘的成交量对板块的波动影响较大，并且其影响的持续性也较长，其中P1=0.387 1，P2=0.612 9，P1的值远远小于P2，表明大盘的成交量的波动会促使房地产板块的波动较为容易处于高波动状态，且高波动状态的持续时间也会长于低波动状态的时间。而板块的成交量对大盘价格的波动相对来说就要偏小很多，各个参数值相比板块指数自身的模型参数值都相差不大(参考表3、表4的第3列与第5列)。二状态各个密度函数图如图7—10所示。

图7 二状态SZ(R),SZ(V)混合Copula密度函数图

图8 二状态DC(R),DC(V)混合Copula密度函数图

图9 二状态SZ(R),DC(V)混合Copula密度函数图

图10 二状态DC(R),SZ(V)混合Copula密度函数图

当处于高波动状态时，熊市与牛市出现的频率增加，而熊市时的相关性比牛市更强，因为从信息的角度考虑，所有的股票以及股票投资者对利空消息都要比利好消息的反应更为强烈，这也是导致2者Clayton函数的权重系数随之增加，并且Cumbel函数Clayton函数的参数值也一并变大的原因之一。

4 结论

在基于状态转移的混合Copula模型上，得到了上证指数和房地产板块指数以及它们相互交叉的收益率序列与成交量序列的相关结构和状态转移的概率值。研究发现：它们的收益率与成交量整体上都存在较强的正相关关系，并且有着上尾高下尾低的非对称相关结构特征。这意味着当一个市场的指数大幅度地震荡时，另外一个市场也会出现相同的情况。在某种极端情况下，一般股市因为价格上涨而导致成交量的增大的概率要大于价格下跌而导致成交量减少的概率。作为股市中的参与者多空双方，其双方力量对比也是影响因素之一。当多方力量大，致使价格上涨和成交量增加；反之，空方力量占主导地位时，会致使价格下跌而成交量也会增加。量价之间同时存在这样的正相关和负相关的混合相关关系，是符合股票市场实际交易现象的。

在状态转移方面，上证指数多处于低波动状态，且易从高波动状态向低波动状态转移，而房地产板块指数却多处于高波动状态，同时经常从低波动状态向高波动状态转移。上证指数代表着中国A股市场的大盘走势，而地产指数代表着中国房地产行业板块的发展趋势。二者的统计分析结论出现了稍微的差异，表明了大盘虽然影响着行业板块的发展走势，但是股价还与政策等多方面因素有关。中国整个股市各项制度管理以及政策方面，较之房地产行业来说，发展较为完善，整个市场比较成熟，而在中国地产行业中，国家政策还不完善，还在摸索中前进。中国是人口大国，虽然对于土地房产有很强的刚需，但是过度的开发扩建，投资者们在投资中过度投机，使地产这一板块的股票价格还处于易高波动状态之中。

[1]Osbrone M F M. Brownian Motion in the Stock Market[J]. Operations Research,1959,7(2)：145-173.

[2]Nelsen R B. An Introduction to Copulas[M]. New York Inc: Springer-Verlag,2006.

[3]Hu Ling. Dependence Patterns Across Financial Markets:a Mixed Copula Approach[J]. Applied Financial Economics,2006,16(10):717-729.

[4]Hu Ling. Essays in Econometrics with Applications in Macroeconomic and Financial Modeling[D]. City of New Haven:Yale University,2002.

[5]Longin F,Solnik B. ExtremeCorrelations of International Equity Markets[J]. Journal of Finace,2001,56:649-676.

[6]张尧庭. 连接函数(Copula)技术与金融风险分析[J]. 统计研究,2002(4):48-51.

[7]韦艳华,张世英. 金融市场的相关性分析:Copula-Garch模型及其应用[J]. 系统工程,2004,22(4)：7-12.

[8]吴吉林,张二华. 次贷危机、市场风险与股市间相依性[J]. 世界经济，2010(3):95-108

[9]Hamilton J D. A New Approach to the Econmic Analusis of Nonstationary Time Series and the Business Cycle[J]. Econometrica,1989,57:357-384.

[10]Pelletier D. RegineSwitching for Dynamic Correlation[J]. Journal of Econometrics,2006,131:445-473.

(编校：叶超)

The Dependence Relationship Between the Returns and Volume of Stock Based on the State transfer - Mixed Copula Model

JIANG Song-ming, WANG Qin, LIU Yang

(1.CollegeofMathematics，SouthwestJiaoTongUniversity，Chengdu610031China;2.ChengduRealEstateAssociationLetterco.,LTD.,Chengdu610031China)

A State transfer - mixed Copula model is constructed. It has been using mixed copulas’ weight coefficient and the parameters of the transfer between different states to describe the dependent variables between the up-tail and down-tail of the asymmetric structure under transformation. In this paper, it was used in empirical research of Shanghai composite index and real estate sectors index. The research result shows that the overall trend is asymmetric. up-tail is high while down-trail is low. After the stock market runs from the low volatility states to high volatility states, it significantly has enhanced the tail structure related degree between volume and price, and the proportion of tail structure also increased.

state transfer; mixed Copula model; the maximum likelihood estimation; relationship between volume and price

2014-10-08

国家自然科学基金项目( 71271227)

江松明(1987—) ，男，硕士研究生，主要研究方向为时间序列分析。

F224;F830

A

1673-159X(2015)05-0063-07

10.3969/j.issn.1673-159X.2015.05.012