关于正项级数敛散性的判别法序列

郝　乐

(沈阳大学 经济学院, 辽宁 沈阳　110044)



关于正项级数敛散性的判别法序列

郝乐

(沈阳大学 经济学院, 辽宁 沈阳110044)

摘要:通过将熟知的对数判敛法、根值判敛法和比值判敛法进行推广,得到了相应的判别法序列,并列举了其中的某些方法的应用.

关键词:正项级数; 收敛; 判别法; 序列

关于正项级数敛散性的判别,除了定义及柯西收敛准则外,并不存在对任意级数都能生效的万能判别法.但一些方法却可以无止境地推广和延伸,从而得到判别法序列,见文献[1]. 这些判别法序列的功能是逐渐加强的.首先引入如下记号:

1对数判别法序列

在本段中记:

证明显然,判别法L0就是对数判别法,见文献[2],以下设k是任意的正整数.

(1) 若10 及自然数N, 使得当n≥N时,有ln[k+1]n>0及Lk(n)≥1+α,即

整理得

由柯西积分判敛法及比较判敛法知,级数∑an收敛.

(2) 若-∞≤pk<1,则存在自然数M, 使得当n≥M时,有ln[k+1]n>0及Lk(n)<1, 整理得

由柯西积分判敛法及比较判敛法知,级数∑an发散.

2根值判别法序列

在本段中,引用如下记号:

证明显然,判别法G0就是柯西(根值)判别法,见文献[3],以下设k是任意的正整数.

两端取对数,得

则

3比值判别法序列

在本段中记:

证明显然,判别法D0,D1,D2分别就是达朗贝尔(比值)判别法、拉贝判别法和伯尔特昂判别法,见文献[4]. 下面就k≥3的一般情形予以证明.

为书写方便,记:

上式两端取对数,则有

lnan-lnan+1=

N≥M时

由文献[5]中的定理1.1及附注(1.3)可知

式中,Ck-1为广义欧拉常数.所以

则

与前面的判别法Lk强于判别法Lk-1同理,在判别法序列{Dk}中,判别法Dk强于判别法Dk-1.

解

显然,判别法D0即达朗贝尔(比值)判别法失效.但

由判别法Q2知级数发散.

参考文献:

[1] 熊昌萍. 正项级数敛散性的判别法序列[J]. 广东民族学院学报:自然科学版, 1996(4):22-26.

(XiongChangping.DiscriminantSequenceofConvergenceandDisvergenceofPositiveSeries[J].JournalofGuangdongInstituteforNationalities:NaturalScience, 1996(4):22-26.)

[2] 姬小龙,王锐利. 正项级数的Raabe对数判别法[J]. 高等数学研究, 2007,10(3):7-9,23.)

(Ji Xiaolong,Wang Ruili. Raabe Logarithmic Criteria of Positive Series[J]. Studies in College Mathematics, 2007,10(3):7-9,23.)

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(Tang Cui’e. Extension of Abbe Discriminant Method of Convergence and Divergence of Series[J]. College Mathematics, 2005,21(2):132-134.)

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(Xie Yan. The Application of Stolz Theorem[J]. Journal of Yunnan RTV University, 2007,9(4):94-96.)

[5] 孙燮华. Euler公式的推广及其精确化[J]. 数学通报, 1983(11):22-25.

(Sun Xiehua. The Generalization of Euler’s Formula and its Precision[J]. Mathematical Bulletin, 1983(11):22-25.)

[6] 郝一凡,李浩智. 正项级数拉贝判敛法的等价形式[J]. 数学通报, 1993(1):22-23.

(Hao Yifan, Li Haozhi. Equivalent Form of Labe Convergence Method of Positive Series[J]. Mathematical Bulletin, 1993(1):22-23.)

[7] 郝乐,马乾凯.p级数的发散速度或收敛值域[J]. 沈阳大学学报:自然科学版, 2013,25(6):514-516.

【责任编辑: 李艳】

(Hao Le, Ma Qiankai. Divergence Speed or Convergence Value Domain ofpSeries[J]. Journal of Shenyang University: Natural Science, 2013,25(6):514-516.)

Criterion Sequence for Convergence of Series with Positive Terms

HaoLe

(School of Economy, Shenyang University, Shenyang 110044, China )

Abstract:The corresponding criterion sequence was achieved from the promotion and extension of some known criteria, such as the criteria for the convergence of logarithm, the root value and the ratio, etc. The applications of the criterion sequence were given.

Key words:series with positive terms; convergence; criterion; sequence

收稿日期:2014-04-22

中图分类号:O 173

文献标志码:A

作者简介:郝乐(1984-),女,辽宁沈阳人,沈阳大学讲师,硕士.

文章编号:2095-5456(2015)02-0166-04