广义G-矩阵

2015-02-27 03:20马培兰
长春师范大学学报 2015年4期
关键词:伊宁对角伊犁

马培兰

(伊犁师范学院数学与统计学院,新疆伊宁 835000)

广义G-矩阵

马培兰

(伊犁师范学院数学与统计学院,新疆伊宁 835000)

本文从广义G-矩阵的定义出发,利用矩阵的广义Schur-补,讨论了广义G-矩阵的充要条件。

广义逆矩阵;广义G-矩阵;Schur-补

文献[2]中定义了广义G-矩阵,并讨论了几种特殊形式的G-矩阵.文献[3-4]中对G-矩阵及广义G-矩阵进行了进一步的讨论.在文献[5-6]中讨论了矩阵的广义Schur-补的最大最小秩.本文利用矩阵的广义Schur-补的最大最小秩,从另一个角度讨论了广义G-矩阵的充要条件.

定义1.1[1]设矩阵A∈Rm×n,如果矩阵X满足下列矩阵方程中的一个或几个:(1)AXA=A;(2)XAX=X;(3)(AX)T=AX;(4)(XA)T=XA,则称矩阵X∈Rn×m为矩阵A的广义逆.

对于集合{1,2,3,4}的子集{i,j,…},n×m矩阵X称为矩阵A的{i,j,…}-逆.如果它满足方程(i),(j),(k),记为A(i,j,k).矩阵A的{i,j,…}-逆的全体构成的集合记为A{i,j,k}.

矩阵的{1}-逆也称为g-逆,{1,3}-逆也称为最小二乘g-逆.

1 引言

定义1.2[2]设矩阵A∈Rn×n,如果A非奇异并且存在非奇异对角矩阵D1,D2,使得(AT)-1=D1AD2,则称A为G-矩阵.

定义1.3 设矩阵A∈Rmxn,如果存在非奇异对角矩阵D1∈Rm×m,D2∈Rn×n,使得A=D1(AT)+D2,则称为广义G-矩阵.

定义1.4 设矩阵A∈Rm×n,如果存在非奇异对角矩阵D1∈Rm×m,D2∈Rn×n,A(i,j,k)∈A{i,j,k},使得A=D1(AT)(i,j,k)D2,则称A为广义G(i,j,k)-矩阵.

(1)若A为非奇异矩阵,则A在M中的Schur补为SA=D-CA-1B,并且

rank(M)=rank(A)+rank(D-CA-1B).

2 关于广义G-矩阵的结论

且rank(M)=rank(AT)+rank(A-D1(AT)-1D2)=rank(A)+rank(A-D1(AT)-1D2).

因此,矩阵A为G-矩阵

⟺A=D1(AT)-1D2⟺A-D1(AT)-1D2=0⟺rank(A-D1(AT)-1D2)=0

⟺rank(M)=rank(A)+rank(A-D1(AT)-1D2)=rank(A).

rank(A-D1(AT)+D2)

证明 由定义1.4知,A为广义G(1)-矩阵时,存在非奇异对角矩阵D1∈Rm×m,D2∈Rn×n,A(1)∈A{1},使得A=D1(AT)(1)D2,即A-D1(AT)(1)D2=0.

而由引理1.5知

minrank(A-D1(AT)(1)D2)

因此,矩阵A为广义G(1)-矩阵

定理2.4 设矩阵A∈Rm×n,则矩阵A为广义G(1,2)-矩阵的充分必要条件是存在非奇异对角矩阵D1∈Rm×m,D2∈Rn×n,使得rank(A)+m+n+max{s1,s2}=0,其中

而由引理1.5知

minrank(A-D1A(1,2)D2)

=m+n+rank(A)+max{s1,s2}.

其中

因此,矩阵A为广义G(1,2)-矩阵

⟺m+n+rank(A)+max{s1,s2}=0.

[1]A.Ben-Israel,T.N.E.Greville.GeneralizedInverse:TheoryandApplications[M].Seconded.,Springer-Verlag,NewYork,2002.

[2]G-matrix[J].LinearAlgebraAppl.,2012,436:731-741.

[3]MiroslavFiedler,ThomasL.Markham,MoreonG-matrices[J].LinearAlgebraAppl.,2013,438:231-234.

[4]MasayaMatsuura.AnoteongeneralizedG-matrices[J].LinearAlgebraAppl.,2012,436:3475-3479.

[5]YonggeTian.MoreonmaximalandminimalranksofSchurcomplementswithapplications[J].AppliedMathematicsandComputation,2004,152:675-692.

[6]YonggeTian.Upperandlowerboundsforranksofmatrixexpressionsusinggeneralizedinverses[J].LinearAlgebraAppl.,2002,355:187-214.

Generalized G-matrices

MA Pei-lan

(School Mathematics and Statistics,Yili Normal University,Yining Xinjiang 835000,China)

From the definition of generalized G-matrices, using the generalized Schur-complement discuss the the necessary and sufficient conditions for generalized G-matrices.

generalized inverse;generalized G-matrices;Schur-complement

2015-01-20

马培兰(1987-),女,河南偃师人,伊犁师范学院数学与统计学院助教,硕士,从事计算数学研究。

O154

A

2095-7602(2015)04-0009-03

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