混合正则微分系统第二特征值的上界不等式

卢亦平，钱椿林

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

混合正则微分系统第二特征值的上界不等式

卢亦平，钱椿林

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

考虑混合正则微分系统第二特征值的上界估计.利用试验函数、Rayleigh定理、分部积分和Schwartz不等式等估计方法，获得了用第一特征值来估计第二特征值的上界的不等式，其估计系数与区间的度量无关. 其结果在物理学和力学中有着广泛的应用，在常微分方程的研究中起着重要的作用.

混合正则微分系统；特征值；特征函数向量；上界

1 主要结果

设a b,( )⊂R是一个有界区间，考虑混合正则微分系统

的特征值估计问题，式中：s＞t≥2 h，s，t和h为正整数；Q为常数，b0=b1=…=br-1=0，br=1，r≤h；bh＞0，bk≥0，k=r+1，r+2，…，h-1；p(x) ∈ Ct+j([a, b])，j=0，1，2，…，s-t，且满足

j

其中μ1，μ2为正实数.

把问题(1)写成矩阵形式，设

将问题(1)化为等价的矩阵形式

微分方程的特征值估计已获得一些结果.相同阶微分系统特征值估计也获得一些结果[1-4].本文考虑混合正则微分系统的问题，将文献[5]-[7]中的问题推广到多个不同阶微分方程组成的方程组. 运用文献[8]中的方法，对于问题(1)获得了用第一特征值来估计第二特征值的上界的不等式，其估计系数与区间的度量无关. 其结果在物理学和力学中有着广泛的应用，在常微分方程的研究中起着重要的作用.

定理1 设λ1，λ2是问题(1)的第一、第二特征值，且0＜λ1≤λ2，则

2 定理1的证明

设λ1是问题(3)的第一特征值，相应于λ1的特征向量函数为u，且满足

利用分部积分和式(5)得

利用式(6)，对于j=0，1，2，…，s-t，k=0，1，2，…，h，有

利用分部积分和式(6)有

利用式(2)和式(8)得

利用式……