求常系数线性微分方程解的矩阵方法

赵晓苏，钱椿林

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

求常系数线性微分方程解的矩阵方法

赵晓苏，钱椿林

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

考虑求常系数线性微分方程解的矩阵方法.首先，将常系数线性微分方程化为一阶线性微分方程组，且用矩阵表示；然后，求其矩阵的特征值和特征向量，把矩阵对角化或化简；最后，利用矩阵乘法求得常系数线性微分方程的通解或特解. 其计算方法简单、方便，在实际中很有用.

常系数线性微分方程；矩阵；特征值；特征向量；通解；特解

1 问题的提出

在科学研究和生产实践中往往会碰到某些量之间存在着某种微分关系，其数学表达式为微分方程，例如

式中：f(x)为已知函数；pi(i=0，1，2，…，n-1)为已知常数；y=y(x)为未知函数.称式(1)为n阶常系数线性微分方程.如果f(x)≠0，称式(1)为n阶非齐次常系数线性微分方程；如果f(x)=0，称式(1) 为n阶齐次常系数线性微分方程，即

对于n阶非齐次常系数线性微分方程(1)的求解，通常的做法是：讨论非齐次项f(x)的各种类型，利用待定系数法求得一个特解[2-5].对于非齐次项f(x)是一般的情形，用待定系数法显得无能为力.对于一般的非齐次项f(x)，利用矩阵方法[1]，可以求得其微分方程的一个特解或通解.其计算方法简单、方便，在实际中很有用.本文主要讨论二阶常系数线性微分方程求解的矩阵方法，其方法可以在求任意阶常系数线性微分方程的解中使用.

2 指数矩阵的定义及性质

2) 指数矩阵具有如下性质：

3 问题的解法

求常系……