完整系统Tzénoff方程Lie对称性的共形不变性与守恒量

郑世旺，赵永红

(商丘师范学院 物理与电气信息学院，河南 商丘，476000)

完整系统Tzénoff方程Lie对称性的共形不变性与守恒量

郑世旺，赵永红

(商丘师范学院 物理与电气信息学院，河南 商丘，476000)

通过完整系统的Tzénoff方程,给出了该系统Tzénoff方程的Lie对称性及其共形不变性的定义,研究了该系统Tzénoff方程Lie对称性的共形不变性及其守恒量, 给出了这种守恒量的函数表达式和导出这种守恒量的判据方程, 最后给出一个应用实例.

完整系统；Tzénoff方程;Lie对称性;共形不变性;守恒量

0 引 言

1918年德国女科学家A.E. Noether首次发现，对称性与守恒量之间有对应关系，通过研究动力学系统的对称性可以找出系统的守恒量[1]，为寻找实际力学系统的守恒规律提供了方法和途径. 但是，当时并没有引起太多人的重视，直到20世纪70年代，分析力学界才开始认识到Noether理论的科学价值，从此对称性与守恒量的研究得到蓬勃发展，并取得了一系列重要成果[2-14].1997年,俄罗斯学者Galiullin等在研究Birkhoff 系统动力学时首次提出了Birkhoff方程的共形不变性和共形因子的概念, 并讨论了Pfaff 作用量在无限小变换下的不变性与共形不变性及Lie 对称性与共形不变性之间的关系[15]. 共形不变性及其守恒量的研究较为复杂，我国学者关于约束系统共形不变性的研究起步较晚，蔡建乐和梅凤翔教授在2008年研究了Lagrange 系统Lie点变换下的共形不变性与守恒量[16]，从此推动了共形不变性及其守恒量的研究，现在共形不变性的研究已逐步扩展到Hamilton系统、相对运动系统、机电力学系统、变质量力学系统等动力学系统，并取得了不少成果[17-22].1953年保加利亚科学院院士Tzénoff构造了经典力学系统的一种新型动力学函数称为Tzénoff函数，他建立了一类新型运动微分方程被称为Tzénoff方程，与其它动力学方程如Lagrange方程、Nielsen方程、Appell方程相比较，Tzénoff方程至今仍为最简捷的动力学微分方程．在1985到1987年期间，我国学者梅凤翔、程丁龙等把Tzénoff方程推广到了可控力学系统[23]、变质量系统[24]，近年来Tzénoff方程的对称性与守恒量的研究也取得了一些成果[25-31],但关于Tzénoff方程的共形不变性与守恒量的研究还没见有文献报道.

本文研究了完整系统Tzénoff方程Lie对称性的共形不变性及其守恒量.首先,建立完整系统的Tzé-noff方程,定义了完整系统Tzénoff方程Lie对称性共形不变性的概念, 给出了Lie对称性共形不变性的确定方程和产生相应守恒量的表达式及导出这种守恒量的必要条件, 最后通过一个简例说明本文结果的应用.

1 完整系统的Tzénoff方程

设力学系统的位形由n个广义坐标qs(s=1,…,n)来确定，质点的矢径ri=ri(t,qs),系统的Tzé-noff函数为

(1)

(2)

展开(2)式可得到广义加速度

(3)

2 完整系统Tzénoff方程Lie对称性的共形不变性

取时间不变的特殊无限小变换

(4)

或其展开式

(5)

其中ε是一无限小参数，ξs为无限小生成元. 由于Lie对称性是微分方程在群的无限小变换下的一种不变性[3]，又因方程(2)有(3)式的结果，所以，根据定义可得完整系统Tzénoff方程Lie对称性的判据方程

(6)

或

(7)

即

(8)

其中

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

3 Tzénoff方程Lie对称性的共形不变性所导出的守恒量

完整系统Tzénoff方程Lie对称性的共形不变性因限制条件多,导出守恒量较难,但满足一定条件下也可导出相应的守恒量.

(14)

则Tzénoff方程Lie对称性的共形不变性将直接导出Hojman守恒量

(15)

式中算符

(16)

证明 将(15)式按(16)式的关系对时间求导,并利用Lie对称性判据方程(8)和算子换算关系

得

将(14)式代入上式，得

证毕.

4 应用例子

已知完整力学系统的Tzénoff函数为

(17)

试研究该力学系统Lie对称性的共形不变性和其导出的守恒量.

解 把Tzénoff函数(16)代入完整力学系统的Tzénoff方程(2),得

(18)

即

(19)

取

ξ0=0,ξ1=q1,ξ2=q2,

(20)

有

(21)

所以,Lie对称性共形不变性的判据方程(10)成立,系统具有Lie对称性的共形不变性,其共形因子

(22)

显然,生成元(19)满足Lie对称性判据方程(8), 系统同时也具有Lie对称性.

方程(14)式给出

(23)

它有如下解

μ=t2,

(24)

(25)

(23)式只能给出平凡守恒量

IH1=4

(24)式给出Hojman守恒量

(26)

5 结 语

本文首次研究了完整系统Tzénoff方程Lie对称性的共形不变性及其守恒量，通过建立完整系统的Tzénoff方程,定义了完整系统Tzénoff方程Lie对称性共形不变性的概念, 给出了Lie对称性共形不变性的确定方程和产生相应守恒量的表达式及导出这种守恒量的必要条件. 该研究结果对进一步探究非完整系统Tzénoff方程的共形不变性及其守恒量奠定了理论基础．

[1]NoetherAE.InvarianceVariationsproblems[J].KglGesWissNachrGöttingenMathPhys., 1918,KI,II:235-257

[2]MeiFengxiang.ForminvarianceofLagrangesystem[J].JournalofBeijingInstituteofTechnology, 2000, 9(2):120-124.

[3] 梅凤翔. 约束力学系统的对称性与守恒量[M]. 北京：北京理工大学出版社,2004.

[4]FuJingli,WangXianjun,XieFengping.ConservedQuantitiesandConformalMechanico-ElectricalSystems[J].ChinesePhysicsLetters,2008,25(7):2413-2416.

[5]ZhaoLi,FuJingli.AnewtypeofconservedquantityofMeisymmetryforthemotionofmechanicoelectricalcouplingdynamicalsystems[J].ChinesePhysicsB,2011,20(4):040201(1-4).

[6] 张宏彬，吕洪升，顾书龙.完整约束力学系统保Lie对称性差分格式[J] .物理学报,2010,59(8):5213-5218.

[7] 张毅. 事件空间中完整系统的Lie对称性与绝热不变量[J].物理学报,2007,56(6):3054-3059.

[8] 刘畅，赵永红，陈向炜. 动力学系统Noether对称性的几何表示[J]. 物理学报,2010,59(1):11-14.

[9] 方建会.Lagrange系统Mei对称性直接导致的一种守恒量[J] .物理学报,2009,58(6):3617-3619.

[10]LiYanmin.LieSymmetries,PerturbationtoSymmetriesandAdiabaticInvariantsofaGeneralizedBirkhoffSystem[J].ChinesePhysicsLetters, 2010, 27(1): 010202(1-4).

[11] 韩月林, 王肖肖, 张美玲, 贾利群. 弱非完整系统Mei对称性导致的新型精确和近似守恒量[J]. 物理学报,2013,62(11)：110201(1-6).

[12]ShaoKaiLuo,ZhuangJunLi,WangPeng,LinLi.ALiesymmetricalbasicintegralvariablerelationandanewconservationlawforgeneralizedHamiltoniansystems[J].ActaMechanica, 2013, 224(1): 71-84.

[13] 王菲菲，方建会，王英丽，徐瑞莉. 离散变质量完整系统的Noether对称性与Mei对称性[J]. 物理学报,2014,63(17)：170202(1-6).

[14] 孙现亭，张耀宇，薛喜昌，贾利群. 增加附加项后广义Hamilton系统的形式不变性与Mei守恒量[J]. 物理学报,2015,64(6)：064502(1-4).

[15] Галиуллин А С，Гафаров Г Г，Малайшка Р П，etal. Аналитическая Динамика Систем Гельмгольца，Виркгофа，Намбу：Монография[M].Москва：Редакция Журнала “Успехи Физических Наук”，1997.

[16] 蔡建乐,梅凤翔.Lagrange系统Lie点变换下的共形不变性与守恒量[J].物理学报,2008,57(9):5369-5373.

[17] 李彦敏.变质量非完整力学系统的共形不变性[J] .云南大学学报( 自然科学版),2010,32(1):52-57.

[18]ChenXiangwei,ZhaoYonghong,LiYanmin.Conformalinvarianceandconservedquantitiesofdynamicalsystemofrelativemotion[J].ChinesephysicsB,2009,18(8):3139-3144.

[19] 王小明,李元成,夏丽莉.机电系统Mei对称性的共形不变性与守恒量[J].贵州大学学报(自然科学版),2009,26(6):32-38.

[20] 陈向炜, 赵永红, 刘畅.变质量完整动力学系统的共形不变性与守恒量[J]. 物理学报, 2009, 58(8): 5150-5154.

[21] 王廷志,韩月林.相对运动非完整动力学系统的共形不变性与守恒量[J].江南大学学报( 自然科学版),2013,12(2):234-238.

[22] 孙现亭，张耀宇，张芳， 贾利群. 完整系统Appell方程Lie对称性的共形不变性与Hojman守恒量[J]. 物理学报,2014,63(14)：140201(1-4).

[23] 程丁龙.ЦЕНОВ方程对变质量非完整系统的推广[J].北京理工大学学报,1987(3)： 76-85.

[24] 梅凤翔.非完整系统力学基础[M].北京：北京工业学院出版社，1985.

[25]ZhengShiwang,JiaLiqun,YuHongsheng.MeiSymmetryofTzénoffEquationsofHolonomicSystem[J].ChinesePhysics,2006 ,15(7):1399-1402.

[26]ZhengShiwang，XieJiafang,LiYanmin.MeisymmetryandconservedquantityofTzénoffequationsfornonholonomicsystemsofnon-Chetaev,stype[J].CommunicationsinTheoreticalPhysics,2008,49(4):851-854.

[27] 郑世旺,解加芳,陈向炜，等.完整系统Tzénoff方程的Mei对称性直接导致的另一种守恒量[J] .物理学报,2010,59(8):5209-5212.

[28]ZhengShiwang,WangJianbo,ChenXiangwei,XieJiafang.MeisymmetryandnewconservedquantitiesofTzénoffequationsforthevariablemasshigher-ordernonholonomicsystem[J].ChinesePhysicsLetters,2012,29(2):020201(1-4).

[29] 郑世旺,陈梅.非完整系统Tzénoff方程的Mei对称性所对应的一种新守恒量[J] .云南大学学报,2011,33(4):412-416.

[30] 郑世旺,王建波,陈向炜,李彦敏,等.变质量非完整系统Tzénoff方程的Lie对称性与其导出的守恒量[J] .物理学报,2012,61(11):111101(1-5).

[31] 郑世旺,王建波.广义Tzénoff数的构造及求解完整系统守恒量的简单方法[J] .商丘师范学院学报,2014,30(6):29-34.

[32] 梅凤翔,刘端,罗勇.高等分析力学[M].北京：北京理工大学出版社,1991.

[责任编辑：徐明忠]

Conformal invariance and conserved quantity of Lie symmetry for Tzénoff equations in holonomic systems

ZHENG Shiwang ，ZHAO Yonghong

(School of Physics and Electrical Information, Shangqiu Normal University, Shangqiu 476000, China)

By the Tzénoff equations of holonomic systems, the definitions of conformal invariance and conserved quantity of Lie symmetry for Tzénoff equations in holonomic systems are given. Conformal invariance and conserved quantity of Lie symmetry for Tzénoff equations in the systems are studied. The function expressions of conserved quantities and the criterion equations which deduce the conserved quantities are obtained. Finally, an example is given to illustrate the application of the result.

holonomic systems; Tzénoff equations; Lie symmetry; conformal invariance; conserved quantity

2015-03-07；

2015-03-28

国家自然科学基金资助项目(11372169)

郑世旺(1963-)，男，河南兰考人，商丘师范学院教授；主要从事分析力学的研究.

O320

A

1672-3600(2015)06-0039-05