步进加速试验中基于Gamma过程的可靠性建模方法*

徐廷学,王浩伟,张鑫

(海军航空工程学院 a. 兵器科学与技术系；b. 研究生管理大队；山东 烟台　264001)



步进加速试验中基于Gamma过程的可靠性建模方法*

徐廷学a,王浩伟b,张鑫a

(海军航空工程学院 a. 兵器科学与技术系；b. 研究生管理大队；山东 烟台264001)

摘要：某型导弹电连接器属于高可靠性、长寿命产品，为了对其进行可靠性评估，设计了步进应力加速退化试验获取性能退化数据，提出了加速应力下基于Gamma过程的可靠性建模方法。以电连接器的接触电阻作为性能参量，并根据实际使用环境选择了温度、湿度作为综合加速应力；利用Gamma过程对样品退化规律进行建模并对模型进行了检验；使用广义艾林模型描述了样品退化率与温度、湿度之间的关系。在以上基础上建立可靠性模型，并采用极大似然法估计出模型参数，成功对该型电连接器在工作条件下可靠度值作出了预测。

关键词：可靠性建模；Gamma过程；步进应力；广义艾林模型

0引言

近些年，越来越多的长寿命、高可靠性产品出现在军工、航空航天等领域，对这些产品准确定寿是做好装备预防性维修工作，提高装备战备完好率的重要前提。

厂家给出的是产品在标准工作或贮存条件下的寿命指标，使用这类寿命指标对处于不同工作条件下的产品进行定寿并不合理，为此寿命试验的方法被用于产品寿命预测。然而高可靠性产品即使在加速寿命试验中也很难失效，传统的基于失效数据的方法无法有效预测此类产品的寿命。但是一些高可靠性产品的某些性能指标会随着时间产生退化，对这些性能退化量进行测量、分析，就可推测出产品的寿命信息。某型导弹电连接器的接触电阻在使用过程中有变大的趋势，当接触电阻退化量达到失效阈值时，可认为电连接器发生失效。所以可通过性能退化分析的途径研究产品性能退化与寿命之间的关系，通过退化数据对产品进行可靠性评估与寿命预测。

Gamma过程是一种随机过程模型，具有非负、严格单调递增等特性，适合对退化过程不可逆的产品进行退化建模。Lawless和Crowder[1]研究了带协变量和随机影响的Gamma过程，利用其对金属裂纹增长过程进行建模。Park和Padgett[2]研究了多应力加速情形下基于Gamma过程的退化建模方法。Tseng[3]等研究了基于Gamma过程的步进应力加速退化建模方法及最优加速退化试验设计，并利用该方法对碳膜电阻退化过程进行了分析研究。Noortwijk[4]对Gamma过程在装备故障诊断和健康管理中的应用进行了总结。孙中泉和赵建印[5]给出了Gamma过程退化失效可靠性模型及其仿真求解方法，并利用所得模型对强激光装置所用的某型金属化膜脉冲电容器进行了可靠性评估。

为了评估某型导弹电连接器在特定工作条件下的可靠性，首先设计了温湿度双应力加速退化试验以获取性能退化数据，然后使用Gamma模型对产品退化过程进行建模，利用广义艾林模型描述加速应力与产品退化率之间的关系，最后推导出产品的可靠度模型，对该型导弹电连接器的可靠度值作出了预测。

1基于Gamma过程的可靠性建模

设X(t)表示样品在时刻t的性能退化量，如果连续时间随机过程X(t)满足以下3条性质，则为Gamma过程。

(1)X(0)=0，且X(t)在t=0处连续；

(2)X(t)具有独立增量，即在任意不相交的时间段[t1,t2],[t3,t4]，增量X(t2)-X(t1)与X(t4)-X(t3)相互独立；

(3) 对任意的τ>t，X(τ)-X(t)服从Gamma分布Ga(v(τ-t),u)。

Ga(v,u)是形状参数为v，尺度参数为u的Gamma分布函数，其概率密度函数为

(1)

(2)

假设Gamma退化过程{X(t),t≥0}的初值为0，失效阈值l为常量，ξ表示退化量首次达到失效阈值的时间，即产品的伪寿命值。根据退化失效的定义，ξ=inf{t|X(t)≥l}。由于X(t)严格递增，则有

P(ξ>t)=P(X(t)

(3)

因此，ξ的分布函数为

(4)

式(4)计算起来相当复杂，在实际应用时难以处理，通常采用BS (Birnbaum & Saunders)分布来逼近ξ的分布[6-7]

(5)

相应的概率密度函数为

(6)

2加速模型

产品在不同的应力水平下，性能退化率以某种规律发生变化。加速模型正是对这种规律的数学建模，反映了产品性能退化率与应力水平之间的关系。目前加速试验中常用的加速应力有温度、湿度、电应力、振动等，常用的加速模型有阿伦尼斯模型、逆幂率模型、艾林模型等。对于温度、湿度双应力加速试验，可用广义艾林模型描述性能退化率与应力之间的关系[8]。

(7)

式中：A,B,C为待定常数；T为温度应力；RH为相对湿度；E为激活能；k为玻尔兹曼常数。

如果温度应力和湿度应力的交互影响不存在，则C=0。此时式(7)可简化为

(8)

式中：a=A；b=E/k；c=B。

根据Gamma过程的性质，形状参数v描述应力对产品性能的影响，尺度参数u描述随机因素对产品性能的影响。所以一般假设形状参数v应该随加速应力变化而变化，而尺度参数u应与加速应力无关。然而这种分析与假设缺少相关证明，下面根据周源泉[9]推导失效分布函数与加速应力之间关系的方法对Gamma过程与加速应力之间的关系进行推导。

张春华[10]对周源泉的推导理论和方法进行了研究，并根据Nelson假设给出了加速系数的另一种定义：

若Fi(ti),Fj(tj)分别表示产品在应力Si和Sj作用下的累积失效概率，如Fi(ti)=Fj(tj)可将应力Si相当于应力Sj的加速系数定义为满足下式：

(9)

根据文献[9-11]，产品在各加速应力下的失效机理不变是保证Kij与可靠度无关的常数的必要条件，则恒有下式成立：

Fi(ti)=Fj(Kijti).

(10)

将式(4)代入式(10)，可得

(11)

为了保证式(11)恒成立，以下关系必须满足

(12)

通过式(12)可得

ui=uj,Kij=vi/vj.

可知u值与加速应力无关，v值与加速应力有关，两者之间的关系可用退化率函数描述。

(13)

3参数估计

Xijk为第j个样品在第k个加速应力下第i次的测量值，tijk为第j个样品在第k个加速应力下进行第i次测量的时间点。ΔXijk=Xijk-X(i-1)jk为性能退化量的增量, Δtijk=tijk-t(i-1)jk为时间增量。根据Gamma过程的特性，可知

ΔXijk～Ga(vΔtijk,u).

(14)

由性能退化数据得到似然函数为

(15)

式中:n1,n2,n3分别为某个样品的测量次数，某个组合应力下的试验样品数，组合应力的个数。

将式(13)代入式(15)可得似然函数为

L(a,b,c,u)=

(16)

将ΔXijk,Δtijk,Tk,RHk代入式(16)，可解得未知参数a,b,c,u的估计值，并可获得在工作应力水平下的v值。

4实例应用

4.1试验设计

某型导弹电连接器的失效模式主要有接触电阻失效、机械失效和绝缘失效3种类型，其中接触电阻失效是电连接器失效的主要原因[12-13]。在具体使用环境中，此型电连接器的寿命主要受温度和湿度影响，温度和湿度可促使插针表面氧化物加速生成，氧化物的堆积促使接触电阻不断增大最终导致电连接器失效，试验中选取温度、湿度作为综合加速应力。目前，应用比较成熟的加速试验方式有恒定应力、步进应力、序进应力3种。综合考虑到试验的效率和可操作性，本试验选用步进应力加速方式获取产品的性能退化数据。

(1) 随机抽取10个样品，根据摸底试验选择3组综合应力S1(T1=75℃，RH1=75%)，S2(T2=100℃，RH2=85%)，S3(T3=125℃，RH3=95%)进行步进应力加速退化试验。S0(T0=40℃，RH0=65%)为产品的工作应力水平。

(2) 首先在试验开始前对10个样品进行测量得到初始退化量(y0k,t0k)，其中k=1,2,…,10，t0k=0。然后在每个加速应力下对性能退化参数各进行5次测量。在S1下的测量间隔为96 h；在S2下的测量间隔为48 h；在S3下的测量间隔为24 h。

(3)使用Agilent 3458a数字多用表对样品的退化量进行测量。根据该型电连接器的技术文件规定，确定接触电阻的失效阈值为5 mΩ。

4.2性能退化数据分析

样品在各个组合应力下的性能退化数据如图1所示。从图中可见各样品的退化轨迹大体呈线性变化，经过计算可得各样品的性能退化数据严格递增，初步判断可利用Gamma过程对性能退化数据进行建模。

图1　样品的性能退化数据Fig.1　Degradation data of samples

由于试验中对样品进行等间隔测量，在每组应力水平下Δti为一固定值。根据Gamma过程的特性ΔXi～Ga(vΔti,u)，对ΔXi进行拟合优度检验即可判断其是否服从Gamma分布，从而确定每个样品的退化过程是否服从Gamma过程。通过Anderson-Darling 统计量[14]进行置信度为90%的假设检验，证明样品的退化过程服从Gamma过程。

4.3寿命预测

(17)

样品在S0下的可靠度曲线如图2所示。

图2　样品在S0下的可靠度曲线Fig.2　Reliability curve of samples at S0

样品寿命的期望值即为样品的平均寿命，可根据概率密度函数式(6)求得，计算过程如式(18)：

(18)

将式(13)代入式(18)，可进一步得到样品的在各应力水平下的平均寿命函数

(19)

根据式(19)可得样品在不同温度、湿度应力水平下的平均寿命值，如图3所示。

图3　各温度、湿度下的平均寿命值Fig.3　Mean lifetimes at different temperature　　　and humidity

5结论

基于性能退化分析的方法解决了一些高可靠性长寿命产品难以实现可靠性评估的问题，为产品可靠性评估与寿命预测提供了一种有效手段。对本文的研究结论归纳如下：

(1) Gamma过程适合描述严格单调递增的退化过程，等间隔测量时可根据退化增量服从Gamma分布这一特点，对产品退化过程是否符合Gamma过程进行假设检验。

(2) 温度、湿度双应力试验可更准确模拟产品在特定工作环境下的真实退化过程；产品退化率与温度、湿度之间的关系可通过广义艾林模型进行描述。

(3) 从图3可知，温度比湿度对此产品寿命的影响更大。由产品具体的使用环境条件，根据式(19)可推导相应的平均寿命值。

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Reliability Modeling Method Based on Gamma Processes at Step-Stress Accelerated Tests

XU Ting-xuea，WANG Hao-weib，ZHANG Xina

(Naval Aeronautical and Astronautical University, a. Department of Ordnance Science and Technology;

b. Graduate Students’ Brigade， Shandong Yantai 264001,China)

Abstract:A certain type of missile electrical connector is a high-reliability and long-lifetime product. To assess its reliability, a step-stress accelerated degradation test is carried out to obtain accelerated degradation data and a reliability modeling method based on Gamma processes at accelerated stresses is proposed. Firstly, contact resistor is taken as performance index and temperature, humidity is chosen as accelerated stresses according to the normal use environments. Next, Gamma process is used to model the degradation path and the model is validated. Then, the generalized Eyring model is utilized to establish relationship between degrading rate and accelerated stresses. Lastly, with maximum likelihood estimation(MLE) method, the estimations of model parameters are obtained. Furthermore, the reliability values of electrical connector at normal use stress levels are successfully predicted.

Key words:reliability modeling; Gamma process; step-stress; generalized Eyring model

中图分类号：E927；TB114.3

文献标志码：A

文章编号：1009-086X(2015)-01-0124-05

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2015.01.021

通信地址：264001山东省烟台市二马路188号2系E-mail：xtx-yt@163.com

作者简介：徐廷学(1962-)，男，河南驻马店人。教授，研究方向为装备综合保障工程。

基金项目：国家部委基金资助项目(40108)

收稿日期：2014-02-19；
修回日期：2014-04-04