任意寿命分布下k/N(G)系统定时维修决策模型*

卢雷，杨江平

(空军预警学院，湖北 武汉　430019)



任意寿命分布下k/N(G)系统定时维修决策模型*

卢雷，杨江平

(空军预警学院，湖北 武汉430019)

摘要：针对大型k/N(G)系统维修保障特点，提出了一种定时维修策略。以系统使用可用度为约束条件，以系统期望维修费用率最小化为优化目标，建立了任意寿命分布下k/N(G)系统定时维修优化模型，并提出了一种求解模型的数值迭代算法。实例分析表明，该模型既能计算定时维修策略下k/N(G)系统使用可用度和期望维修费用率，又能确定最佳的定时维修间隔期和最佳的换件维修人数，可为k/N(G)系统预防性维修提供决策支持。

关键词：冗余系统；定时维修；寿命分布；可用度；维修费用率

0引言

为满足高可用度和高可靠性的要求，大型复杂装备如舰船、相控阵雷达中越来越多地使用大型k/N(G)系统，例如某型舰载雷达的4个天线阵面均可视为一个3 000取2 700的k/N(G)系统。与其他系统相比，大型k/N(G)系统在维修保障方面具有系统庞大、设备量多、维修任务重等特点。对于这一类系统，科学合理的预防性维修策略将使系统的保障工作简单、工作量少、保障费用低，并使系统达到较高的战备完好性水平。针对这类系统，文献[1-2]研究了部件故障后立即送修这一策略下k/N(G)系统使用可用度模型，部件故障后立即送修策略适用于部件总数较小的k/N系统。对于部件总数很大的k/N系统，如900/1 000(G)系统，若采用这一策略，则会使系统停机时间增加，维修工作量增大。考虑到部件之间存在的维修相关性，多部件成组维修近来受到较多关注。文献[3]提出了一种D维修策略，D维修策略是指当系统中因部件故障引起的维修工作量超过门限D时才开始对系统进行维修，并以系统期望费用利润率最大为准则求取最优的D值，但该策略的前提假设为部件寿命服从指数分布，且维修人员数量为1。文献[4-5]将k/N(G)系统在一个预防维护周期内的故障分为2类，第1类系统故障是指系统发生失效的部件数小于k，第2类系统故障是指系统发生失效的部件数大于k，对于2类故障分别采用小修处理和完全替换处理，但该策略中小修次数较多，维修任务量大，可操作性不强。文献[6-8]建立了m视情维修策略下k/N(G)系统的使用可用度模型，分析了维修策略参数m、初始备件数量以及维修人员数量对系统使用可用度的影响，m维修策略是指当N个部件中故障部件数量达到m(0

1k/N(G)系统定时维修策略描述

k/N(G)系统由N个相同部件组成，各部件的寿命服从相同的分布且故障发生相互独立。假设r个人员负责系统的换件维修，且换件维修时保障资源充足。系统采用如下定时维修策略：系统开始工作时,N个部件都正常，当系统运行时间达到T时若仍然正常工作(故障部件数小于N-k+1)，则对系统进行预防性换件维修，更换系统中所有故障部件，预防性换件维修时间假设为tp；而当系统在时间T以前发生故障(故障部件数大于等于N-k+1)，则对系统进行故障换件维修，更换系统中所有故障部件，故障换件维修时间假设为tf；预防性换件维修或故障换件维修完成后，系统重新开始运行。定时维修策略如图1所示。

定时维修策略的优点是能提前安排维修所需的保障资源，并通过成组批量更换故障部件减少维修工作量，从而提高系统利用率，降低维修费用。

2维修决策建模

2.1符号意义

Ao(T,r)：当预防性维修间隔期为T，换件维修人员总数为r时，系统长期运行的使用可用度；

cf：系统一次故障换件维修所需费用；

cp：系统一次预防性换件维修所需费用；

f(t)：部件寿命概率密度函数；

F(t)：部件寿命分布函数；

Fk(t)：k/N(G)系统寿命分布函数；

k：系统正常工作所需的最低正常部件数量；

L(T,r)：当预防性维修间隔期为T，换件维修人员总数为r时，系统长期运行的期望维修费用率；

MTTF：k/N(G)系统的平均寿命；

N：k/N(G)系统总的部件数；

q(t)：部件失效率函数；

R(t)：部件可靠度函数；

Rk(t)：k/N(G)系统可靠度函数；

tf：系统一次故障换件维修所需时间；

tp：系统一次预防性换件维修所需时间；

μ：单个部件的换件维修率。

2.2模型分析

使用可用度和维修费用率是2个关键的维修决策目标[9]。下面，将从这2个方面进行建模分析。

假设k/N(G)系统中任一部件的寿命分布函数为F(t)，密度函数为f(t)，则部件失效率函数q(t)与两者的关系为[10]

(1)

对式(1)两边进行积分，可推导出：

(2)

根据k/N(G)系统的特点：当N个部件中有k个或k个以上部件正常工作时，系统才正常工作，则k/N(G)系统的可靠度为[11]

(3)

k/N(G)系统的累积失效函数为

(4)

k/N(G)系统的平均寿命为

(5)

如果令相邻2次系统开始运行的时间间隔为一个周期，令X为一个任意的周期中k/N(G)系统正常工作的时间(系统中失效部件数量≤n-k+1的时间)，则一个周期的长度为

(6)

所以，一个周期的期望长度E(Y)为

(7)

式中：E[tf]为系统故障换件的期望维修时间；E[tp]为系统预防性换件的期望维修时间。

当换件维修人员总数r小于需换件维修的部件数量时，E[tf]和E[tp]可分别表示为

(8)

(9)

式中：μ为单个部件的换件维修率。

使用可用度是系统的能工作时间与能工作时间、不能工作时间的和之比[12]。k/N(G)系统长期运行的使用可用度可表示为

(10)

同理，可得出一个周期的期望费用E(C)为

(11)

所以，系统长期运行的维修费用率为

(12)

2.3维修决策模型

根据以上的分析，以定时预防性维修间隔期T和换件维修人员数量r为决策变量，以系统可用度为约束条件，系统期望维修费用率最低为优化目标，建立定时维修策略下k/N(G)系统维修决策模型如下：

(13)

式中：Aaccept为最低可接受使用可用度值。

2.4数值迭代算法

为了要求在系统发生故障前(系统中故障部件数超过N-k)对系统进行定时预防性维修，所以定时维修间隔期T一般小于系统的平均寿命MTTF。同时，为避免因换件维修人员过多而导致的资源闲置，所以换件维修人数r一般小于系统故障停机时部件失效总数N-k。

在上述约束条件下，为求解最佳的定时维修间隔期T和最佳的换件维修人数r，提出了维修决策模型的迭代求解方法，如图2所示。

3实例分析

某大型相控阵雷达天线阵面由1 000个相同的收发通道组成，当阵面通道的故障数>100个时，雷达无法完成正常的探测。因此，该天线阵面可视为一个900/1 000(G)的k/N(G)系统。已知条件有：μ=2个/h，cf=10 000元，cp=2 500元，Aaccept=0.95。

实验1部件寿命服从威布尔分布

根据建立的维修决策模型，利用数值迭代算法可求出威布尔寿命分布下使期望维修费用率L(T,r)最小化且满足Ao(T,r)>Aaccept的(Toptimal,roptimal)组合，如表1所示。

实验2部件寿命服从指数分布

假设系统中各项部件的寿命服从参数为λ的指数分布，λ=0.000 3次/h。利用Matlab软件进行仿真，可以得出不同(T,r)组合下的期望维修费用率曲线，如图4所示。

同样，可求出指数寿命分布下使期望维修费用率L(T,r)最小化且满足Ao(T,r)>Aaccept的(Toptimal,roptimal)组合，如表1所示。

由图3和图4可知：无论部件寿命服从威布尔分布或指数分布，系统期望维修费用率L(T,r)并不随着预防性维修间隔期T和维修人员数量r单调变化，而是存在一个最优的(Toptimal,roptimal)组合使系统长期运行期望维修费用率最小化且满足使用可用度约束要求。同时，结合表1可知，通过模型计算和迭代算法求解可找出最优的(Toptimal,roptimal)组合。

4结束语

本文建立了任意寿命分布下k/N(G)系统定时维修决策模型，主要结论有以下几点：

(1) 模型适用于部件寿命服从任意分布(威布尔分布、指数分布等)的k/N(G)系统，通用性较强。

(2) 与目前多数维修决策模型只考虑一种优化目标不同，本文的模型同时考虑了可用度和维修费用率2个优化目标，属于多目标维修决策优化模型。

(3) 本文的模型既可用来计算定时预防性维修策略下k/N(G)系统的可用度和维修费用率，也可利用数值迭代算法确定最优的定时维修间隔期和维修人员数量，可为k/N(G)系统预防性维修策略和维修人力资源的优化提供决策支持。

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Time Based Maintenance Optimization Model fork/N(G) System with Various Lifetime Distributions

LU Lei，YANG Jiang-ping

(Air Force Early Warning Academy, Hubei Wuhan 430019, China)

Abstract:A time based maintenance policy for large-scalek/N(G) system is presented. This policy is provided by the maintenance and support characteristic ofk/N(G) system. On the basis of the policy, a maintenance optimization model is established. The model minimizes system maintenance cost rate under the condition of system operational availability. Then, a numeric iteration algorithm is proposed to solve the model. Example shows that the model can computek/N(G) system operational availability and system maintenance cost rate, and meanwhile the model can obtain the optimal maintenance interval time and the optimal number of maintenance personnel. This research provides decision supporting for the preventive maintenance of large-scalek/N(G) system.

Key words:redundancy system; time based maintenance; lifetime distribution; availability; maintenance cost rate

收稿日期：2014-02-13；
修回日期：2014-04-13

基金项目：国防科研基金项目(KJ2011196)

作者简介：卢雷(1985-)，男，湖北武汉人。博士生，主要研究方向为装备综合保障建模与仿真。

通信地址：441100湖北省襄阳市南漳县城关镇樊湾村张华超市E-mail：lulei61588772@163.com

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2015.01.023

中图分类号：TH165.3；N945.2

文献标志码：A

文章编号：1009-086X(2015)-01-0135-05