以函数f（x）=lnxx为背景的高考题赏析

张立建

1试题

例1（2013年江苏卷20）设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数.

（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；

（2）若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.

例2（2014年湖北卷22）π为圆周率，e=2.71828……为自然对数的底数.

（1）求函数f（x）=lnxx的单调区间；

（2）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；

（3）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

例3（2013年北京卷18）设l为曲线C：y=lnxx在点（1，0）处的切线.

（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方.

以上3道试题都是考查函数的性质和图象，或以此为背景综合考查分析问题、解决问题的能力.

2函数f（x）=lnxx的性质和图象

函数f（x）=lnxx在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数.f（x）max=f（e）=e-1，无最小值，有唯一零点x=1.

图1证明f（x）=lnxx定义域（0，+∞），则f′（x）=1-lnxx2，解f′（x）>0得0e，所以f（x）在（e，+∞）上是减函数.又f（x）max=f（e）=e-1，f（1）=0，且当x∈（e，+∞）时，恒有f（x）=lnxx>0，由此可得函数f（x）的图象如图1所示.

3问题的解决

例1分析函数零点问题是高考热点问题，分离参数法是常用解法之一，将函数f（x）=lnx-ax的零点个数问题转化为两函数y=a与y=lnxx的图象交点个数问题，考查函数y=lnxx的图象，数形结合法求解，但做函数f（x）=lnxx的图象时要特别注意函数在（e，+∞）上时有渐近线（x轴）.

解析（2）g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，则a≤（ex）min，故a≤1e.函数f（x）的零点是方程a=lnxx（x>0）的根，也是函数y=a与函数y=lnxx图象交点的横坐标，故本题也可转化为研究函数y=lnxx的图象.令m（x）=lnxx，则由函数y=lnxx的图象得当a=1e或a≤0时，函数m（x）与函数y=a的图象有且只有1个交点，所以f（x）有1个零点；当0

例2分析利用函数f（x）=lnxx的单调性比较大小，可有如下结论：

（1）当0

（2）当elnbb，即ab>ba.

（3）方程ab=ba（0

解析（1）f（x）在（0，e）上是增函数；f（x）在（e，+∞）上是减函数.（2）因为函数y=ex，y=3x，y=πx在定义域上单调递增，故e3

（3）由（2）易得3e<πe<π3<3π，3e2-eπ.两边同