浅析多元复合函数求导法则的教与学

周孝康++刘彬

摘 要：该文介绍了多元函数微分学章节中复合函数求导法则的好方法和好思想。作者查阅了现今许多出版社出版的高职高专高等数学教材，此章节内容还是停留在传统的教法上。作者引进了对复合函数变量间的依赖关系的研究及函数结构图、尤其是函数结构图，充分利用几何图形形象地帮助学生理解了多元复合函数各变量之间的依存关系后，学生就能清晰、轻松、正确地写出各种不同类型多元复合函数的求导公式。

关键词：多元复合函数 结构图 求导法则 方法

中图分类号：G412 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）12（c）-0120-02

进入21世纪以来，国家对高职高专教育的发展提出了更新的要求，高职高专应该办出特色、办的更好，真正培养出高素质的综合型、应用型人才，也就是说高职高专教育更加注重学生的实践和动手操作能力，而相对的淡化理论教学研究，以必须、够用为准则、以教会、学会为目的，虽然现今的高职高专高等数学教材与本科的高等数学教材相比较，没有强调理体系的系统性，主要突出应用、淡化理论研究，但是现今高职高专的大部分学生文化基础相对薄弱，传统的教学方法让学生难以理解、接受和适应，没有体现出易教易学的准则，特别是在多元函数微分学章节中复合函数的求导公式推导过程中，尤其显示出易教而不易学的特点。而如在一元函数中，我们已经知道复合函数的求导公式所起的重要作用，对于多元复合函数来说，情况也是如此：多元复合函数求导法则是多元函数求导方法的灵魂。教师在课堂讲授内容时轻松、容易，学生也能听懂，但是课后学生一做题就发懵，不知如何下手，因为多元函数的复合函数形式千变万化，相应的求导公式就很多。

1 根据函数表达式写出多元复合函数的求导公式

（1）首先明确函数各变量间的复合关系，也就是弄清楚哪些是自变量、中间变量、因变量且构成这些变量之间联系的函数关系如何，以此写出函数结构图。

（2）根据函数结构图，把函数对某个自变量求导，找出连接该自变量通过中间变量达到函数的所有路径，且路径的条数等于求导公式中的项数，而每项中导数的个数等于对应路径中变量的个数。即：分路相加、连续相乘、分清变量、逐层求导。

2 典型例题

例1 求

函数结构图求导公式

注意：两个自变量x、y到达函数Z的路径都是两条、因此每个求导公式中是两项之和，u、v是中间变量、因此每项都是两个偏导数的乘积。

注意：两个自变量x、y到达函数Z的路径都是三条、因此每个求导公式中都是三项之和，u、v、w是中间变量、因此每项都是两个偏导数的乘积。

例3 求函数结构图求导公式

注意：自变量x到达函数Z的路径有两条、因此对x的偏导公式中是两项之和，u、v是中间变量、因此每项是两个偏导数的乘积，而自变量y到达函数Z的路径只有一条、因此对y的偏导公式只有一项，v是中间变量、因此该项是两个偏导数的乘积。

注意：自变量x到达函数Z的路径有三条、因此对x的偏导公式中是三项之和，u、v是中间变量、因此每项是两个偏导数的乘积、自变量x直接到达函数Z、因此该项只有一个偏导数，而自变量y到达函数Z的路径有两条、因此对y的偏导公式是两项之和，u、v是中间变量、因此每项是两个偏导数的乘积。

例5 求（全导数）函数结构图求导公式

注意：自变量t到达函数Z的路径有三条、因此对t的偏导公式中是三项之和，x、y是中间变量、因此每项是两个偏导数的乘积、自变量t直接到达函数Z、因此该项只有一个偏导数，该例表面上是多元复合函数，但分别将x、y的表达式带入函数z后，函数z实质是t的一元函数，这是复合函数的导数就是一个一元函数的导数，称为全导数，也就是说，全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成的。

例6

求二阶偏导数，

解：函数结构图

注意：本例是求多元复合函数的高阶偏导数（二阶），比多元函数的偏导数多了一个二阶混合偏导数。在求二阶偏导数前，首先把一阶偏导数求出，这是难点，如果把一阶偏导数表达式中的y看成是常量后对x求导，就求出了函数对x的二阶偏导数，如果把x看成常量后对y求导，就求出了二阶混合偏导数。

3多元函数的复合可以是多种多样的，这里不在一一列举，通过以上实例，我们不难看出：对于一个多元复合函数，它的一阶偏导数的个数取决于复合函数本身自变量的个数，而每一个一阶偏导数公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数，且每一项相乘因子的个数，取决于该函数复合的层数，在求多元复合函数的高阶偏导数时，首先求出低阶偏导数，再在低阶偏导数的基础上求偏导，就可以求出高阶偏导数，如（例6）。俗语：要想给学生一杯水，老师应首先有一桶水的功力。教师在授课时，自己应该思路清晰，讲解准确、细致，学生上课时认真听讲，掌握方法，善于分析函数间的复合关系，不要死记硬背，做练习时首先摸清函数变量之间的关系，然后写出结构图，再写出求导公式，以后再遇见此类习题时，思路就不会混乱，无论是多么复杂，怎么变化的题型均能迎刃而解了。

参考文献

[1] 侯风波.高等教学[M].2版.高等教育出版社，2003.

[2] 裴学重.高等数学（一）学习指导[M].1版.中国经济出版社.2001.

[3] 周孝康.高等数学[M].1版.北京师范大学出版社，2007.endprint