基于分数阶PID控制器的储气罐恒压控制

王 杰，麦云飞

（上海理工大学机械工程学院，上海200093）

0 引 言

随着科技的进步和对控制品质要求的提高，控制精度和鲁棒性要求更高，控制效果要求更好，在运行要求更稳定、可靠、准确的场合下，传统PID控制的缺陷越来越凸现出来。因此，寻求一种切实可行、效率较高的算法就显得尤为重要。本文首先对分数阶PID算法和传统PID算法作了简单的对比，凸显了分数阶PID算法的优越性，然后给出其简化工程算法，将其运用在储气罐恒压控制系统中，在最优传统PID参数的基础上运用分数阶PID的工程算法，最后对比了两者的实际控制效果。

1 分数阶PID算法

分数阶PID算法在时域中的表达式为：

由G-L分数微积分定义［1］得：

式中，

权系数ωαk可视为幂级数（1-x）α在原点的泰勒展开式的系数：

对于G-L分数微积分的2～6阶近似，Lubich给出了如下结论：一阶导数的n阶近似表达式可用（n+1）个点的后向差分表示，同样，（n+1）个点的后向差分表达式的p次幂可以表示p阶导数的n阶近似，则有：

令采样周期为T，式（3）经Z变换得：

时间离散化得到分数阶PID数字实现表达式如下：

式中，Um为分数阶PID控制器的输出；ym为反馈值；rinm为定义目标值；λ为积分阶次系数；μ为微分阶次系数。

从上式可见：分数阶PID比传统PID多了2个可调参数λ和μ，而且阶次是可以任意选择的，因而更具灵活性，选择范围也更大。

2 分数阶PID改进算法

由分数阶PID控制器的表达式可知：由于引入系数dj、qj，并且dj、qj是一个与运算次数j相关的表达式，无法通过递归法消去之前的误差e。直接将其表达式数字化实现是不可行的，因为任何微处理器的资源是有限的，长时间运行必定会发生溢出的现象；由于分数阶PID的记忆性，每增加一个e对于积分项和微分项，微处理器就需要多计算一次，长时间使用微处理器，计算时间就会比初始状态增加时间Δt，这违背步长h一致原则［2］。

综上所述，直接将分数阶PID控制器的数字实现表达式运用于工业微处理器中不可行，因此必须对公式进行简化。

对于积分环节而言，整数阶PID对以前任何时刻采样点的记忆性相同，而分数阶积分只与当前时刻较近的有限项采样点值有明显关系。通过观察分数阶PID表达式的积分项与微分项发现：当λ=-μ的时候积分项表达式ui=ud，所以推测：分数阶PID积分项和微分项只与当前时刻较近的有限项采样点值有明显关系。

由此提出了短记忆分数阶PID算法：取有限项。

具体算法如下：以取n+1项为例进行说明（记忆长度L为n+1）。

当m＜n的时候按原式计算，当m≥n的时候分数阶控制器输出Um可通过取最近的n项误差e和从n+1项以q0、d0作为起始项至qn、dn为止的微分与积分系数计算得到。

3 分数阶PID在储气罐恒压控制系统中的应用

储气罐恒压控制系统由控制器、压力传感器、信号调理电路、比例阀、储气罐、气源等组成，其系统框架如图1所示，系统原理框图如图2所示。储气罐的压力值由压力传感器实时采集并转换为模拟量信号，经控制器内部计算转换为压力反馈信号。控制器读取储气罐实际压力和设定压力后，交由控制器算法在线运算，计算出控制量，将控制量输出到比例阀放大器，实时改变比例阀阀芯开口大小跟开口方向，实现储气罐压力实时跟随设定压力。

图1 储气罐恒压控制系统框架图

图2 储气罐恒压控制系统原理框图

3.1 系统工作阶段分析［3］

（1）充气阶段

式中，Ue为输入电压信号；Uc为比例阀阀口全关时的输入电压；Xv为阀芯位移；X0为反馈弹簧预压缩量；ΔF为干扰力；K为比例增益；KIF为比例电磁铁的电流-力增益；KUF为比例放大器的电压-电流增益；KXF为反馈弹簧的弹性系数。

式中，T为储气罐内气体温度；P为储气罐内气体压力；Ts为气源温度；K为绝热系数；m为储气罐内气体质量；m0为储气罐内原有气体质量；q为比例阀阀口流量；Δt为采样间隔；V为储气罐体积；R为气体常数；Cd为流量系数；w滑阀节流窗口面积梯度；Ps为气源压力；ρ为气体密度。

（2）放气阶段

（3）比例阀阀口关闭阶段

式中，T′s为室内温度。

由系统工作阶段分析可知：温度、压力、空气量三者之间互相影响，因此该系统属于非线性系统。本文分别用传统PID和分数阶PID来进行压力控制，对两者实际控制效果进行比较。

3.2 测试

测试步骤如下：

（1）寻优［4］

调整传统PID参数，使其处于最优状态。

（2）对比

a.取相同参数的分数阶PID对比，不同记忆长度的分数阶PID进行对比。

图3中的曲线为跟随频率为0.1 Hz，振幅为1，偏差为3，占空比50%的方波信号所得。

图3 不同记忆长度的分数阶PID对比曲线

整理曲线和实验数据得表1。

表1 a对比曲线数据对比图

对比结论：短记忆分数阶PID会引入稳态误差；随着记忆长度L的增加，分数阶PID稳态误差逐渐下降；上升时间对记忆长度L不敏感。

取相同Kp，Ki，Kd的整数PID与分数PID控制器曲线对比。

b.对比所得曲线如图4、图5所示。

图4 传统PID压力响应曲线

图5 分数阶PID压力响应曲线

表2 b对比曲线数据对比图

对比结论：分数阶PID比传统PID上升时间tr明显减少；随后进行的大量随机试验证明采用分数阶PID控制算法，系统的可靠性、适应性得到显著提高，很好地实现了非线性控制。

4 结束语

分数阶PID更具灵活性，选择范围更大，在传统PID调至最优后，用短记忆分数阶PID可以进一步将其优化，响应速度能够大幅度提升。短记忆分数阶PID算法的提出有利于突破传统PID的局限性，具有很好的发展前景。

［1］PODLUBNY I.Fractional-order systems and PIλDμ-controllers［J］.IEEE Trans on Automatic Control，1999，44（1）：208-214.

［2］高建龙.分数阶PID控制器在伺服系统中的应用及实现［D］.南京：南京理工大学，2013.

［3］黄友锐.曲立国.PID控制器参数整定与实现［M］.北京：科学出版社，2010.

［4］张 超.多变量系统分数阶控制器的设计［D］.南京：南京信息工程大学，2011.

［5］任彦硕.自动控制系统［M］.北京：北京邮电大学出版社，2006.