弱s*-拟正规嵌入子群对有限群结构的影响*

李春浦，钱方生

(哈尔滨师范大学)

0 引言

利用弱化正规性条件来研究有限群，得到有限群的结论，一直是群论研究者感兴趣的课题之一．该文在前人的基础上，利用弱s*-拟正规嵌入性，研究了有限群的构造，获得了有限群为p-幂零群和p-超可解群的一些充分条件．文中G总表示有限群，符号和术语都是规范的．

1 预备知识

定义1［4］称H在G中弱s*-拟正规嵌入，如果存在群G的正规子群T，使得HT◁—G且H∩T≤Hse，Hse是包含在H中的G的一个s-拟正规嵌入子群．

引理1［4］设G是群，则下列结论成立:

(1)设H≤L≤G，若H在G中弱s*-拟正规嵌入，则H在L中弱s*-拟正规嵌入．

(2)设N◁G，且N≤H≤G，H在G中弱s*-拟正规嵌入当且仅当H/N在G/N中弱s*-拟正规嵌入;

(3)设H为G的π-子群，N为G的正规π'-子群，若H在G中弱s*-拟正规嵌入，则HN/N在G/N中弱s*-拟正规嵌入．

引理2［5］设群G非p-幂零但它的所有真子群均p-幂零，则群G本身非幂零但它的所有真子群均幂零．

引理3［5］设群G本身非幂零但它的所有真子群均幂零，则:

(1)对|G|的某个素因子p，G有一个正规的Sylow p-子群P，且G/P≌Q，其中Q为G的非正规循环Sylow q-子群，且p≠q;

(2)P/Φ(P)是G/Φ(P)的极小正规子群;

(3)如果P非交换且p≠2，则expP=p;

(4)如果P非交换且p=2，则expP=4;

(5)如果P交换，则expP=p．

引理4［6］设p为整除|G|的最小素因子，P为G的Sylow p-子群且P循环，则G有正规p-补．

引理5［1-2］设G是群，则有:

(1)s-拟正规子群是次正规子群．

(2)设P是G的p-子群，且P∈π(G)，则P在G中s-拟正规当且仅当NG(P)≥Op(G)．

(3)设H在G中s-拟正规，P∈Sylp(H)，p为素数．如果P≤Op(G)或HG=1，则P在G中s-拟正规．

(4)设HsG是包含在H中的G的所有s-拟正规子群生成的子群，则HsG是唯一包含在H中最大的G的s-拟正规子群，特别地，NG(H)≤NG(HsG)．

引理6［7］设G是群，则:

(1)设P是G的p-子群，P∈π(G)．则P在G中s-拟正规当且仅当NG(P)≥Op(G)．

(2)设H在G中s-拟……