浅谈数形结合在《点阵中的规律》学习中的应用

北京固安分校 解维国

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面.利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法。

一、数形结合是一种数学思想

数形结合是数学思考、数学研究、数学应用 、数学教学的基本方式，数形结合是双向过程，要处理好数与形的结合，要根据教材的特点和学生的思维水平而定。

数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决很多数学问题，《点阵中的规律》主要渗透用数形结合解决数列问题。数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。本节用数形结合的思想研究数列问题，即借助对点阵的直观分析，把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。

最早把自然数和几何图形联系在一起的，是古希腊著名的数学家毕达哥拉斯。在毕达哥拉斯眼中，图形和数是同一回事，有许多关于数的规律的发现，都是借助图形的直观分析而得到的，他把数描绘成沙滩上的小石子，又按小石子所能排列的形状，把自然数与正三角形、正方形、正五边形……等图形联系起来，将数分为三角数、四角数（正方形数）、五角数……

《点阵中的规律》一课就是让学生通过观察点阵图形中一个个离散的点的排列规律，发现数列的规律渗透函数的思想。

二、在数学教学中渗透数形结合的思想

现行教材和《课标》，注重了知识、能力、数学活动经验、数学教学

思想的培养，而数学思想的核心是数学本质，要揭示数学本质，主要应阐述知识 之间的内在联系、规律的发现过程、数学思想方法的渗透、理性知识的应用等有理有据地发现规律，并应用发现的规律解决实际问题。

为了能更好的适应新课标的要求，在上每一节课之前，我们都应该仔细分析教材，抓住教材及课标的精髓。《数学课程标准》指出：“课堂教学我们在关注知识与技能的同时，又要关注过程与方法、情感态度与价值观，尤其强调要在学生经历猜想、实验、验证、分析、综合、判断、推理等数学活动的过程中去掌握知识、发展技能，体验数学的价值，形成积极主动的学习态度，增强学习数学的信心。”为此，教师要根据学生的具体情况，对教材进行再创造，为学生提供充分从事数学活动和交流的机会，促进他们在自主探索的过程中真正理解和掌握数学知识技能。

三、注重对学生数形结合思想在《点阵中的规律》学习的应用指导

在课堂教学中，教师应充分利用学生形象思维的特点大量地用“形”解释、演示、帮助理解抽象的“数”。如在应用题教学中特别重视发挥线段图的作用。在教学中，可经常进行一些根据线段图列出算式，根据算式画线段图，根据线段图编应用题，根据应用题画线段图等训练，让学生在潜移默化中悟出画图的方法，感受到数与形结合的优点，养成根据题意画图帮助理解题意，激发学生数形结合的学习兴趣，为学生长远学习奠定好的学习方法，从而提高学生的数形转化能力，实现形象思维和抽象思维的互助互补，相辅相成。

学生在学习《点阵中的规律》之后，应该能从基本图形中找出基本的数列规律，像组合图形面积一样，能讲几种基本的图形规律融会贯通，并找出其中的规律。在学生以后的学习中，还会遇到很多的图形找规律的题目，但是，通过本节课的学习，学生应该已经掌握了数形结合的基本思想，并能灵活的应用于点阵的找规律问题当中，能从图形的规律想到数，就是本节课要学生达到的一个高度。但是，如果能让学生从复杂的数列问题中，想到用图形来解决，这并非易事，因为试想，我们作为教师，在遇到复杂数列的时候，也没能完全去按照图形的规律去想，大部分都是根据教师以往的经验进行解题，所以，从数想到形是一个难点，也是不容易应用于实践的一个思想。要想让同学们能在解决数的问题时，想到形，应该给予更多的又针对性的练习，并从中加以深化，总结，使学生培养出从数到形的意识，虽不易，但如果锻炼成型，会受益无穷。

四、让学生在遇到《点阵中的规律》以及数列问题时养成数形结合的良好习惯

我们在学习简单的应用题、认识整数、分数、小数的意义以及加、减、乘、除的意义及计算时，在解决分数应用题时，就要求学生画出线段图来。在学习了平面图形 、立体图形以及它们的周长、面积、表面积、体积发生变化时，都要求学生画出图形，用“形”来理解它们的变化，从而再用数来表示，达到用“形”来理解“数”，用“数”来表示“形”。经过长期的训练，让学生有很好的数形结合的好习惯，提高学生的数学思维能力和转化能力，达到数形统一。

然而，目前我们面临的问题是，数形结合的描述抽象性太强，即使给初中的学生施加这样的词语，也未必都能理解的很清楚。更不用说小学生，所以，在讲授数形结合思想的时候，一定要注重以学生已有的与数形结合的方法为依托，去和学生阐述数形结合的妙处和思想。数形结合的思想虽然不容易被学生完全理解，但是，在我们的教育教学中，如果有更多的渗入和练习，学生也能对数形结合有更高一层的认识。

《点阵中的规律》一课，如果学生已经掌握从不同角度去分析一个点阵的规律，就已经达到了我们的教学目标，至于从数想到形，我们可以慢慢锻炼，给孩子一个消化接受的过程。总之，不只是学生，老师也应该将数形结合的思想经常性的出现在你的课堂，潜移默化，终将有所收获。