关于三次方程x3-53=Ty2的整数解

赵晶晶

（滇西科技师范学院后勤管理处，云南临沧677000）

关于三次方程x3-53=Ty2的整数解

赵晶晶

（滇西科技师范学院后勤管理处，云南临沧677000）

设为互异的奇素数，p1≡p2≡1(mod6)为奇素数，运用初等方法得出了三次方程x3-53=Ty2无正整数解的一个充分条件.

三次方程；整数解；奇素数；Legendre符号；同余

三次方程

是一类基本而重要的方程，但目前结果还不多见，其结论主要为：

(Ⅰ)当T不含素因子2时，文[1][2]给出了T不含3或6k+1型素因子时方程(1)的全部非平凡正整数解；文[3]-文[7]分别给出了T含6k+1型素因子时方程(1)无正整数解的充分性条件.

(Ⅱ)当T不含素因子2时，文[9]给出了T含6k+1型素因子时方程(1)无正整数解的充分性条件.

当T含素因子2同时还含6k-1型素因子的情况目前还没有相关结果，本文主要研究T含素因子2、2个6k+1型素因子，同时含至少一个6k+1形素因子的情况，即证明了如下定理：

n)为互异的奇素数，p1≡p2≡1(mod6)为奇素数，则三次方程

仅有平凡解(x,y)=(5,0).

(ⅰ)Q≡7,23(mod24)，p1≡1(mod24)，p2≡13(mod24)，

(ⅱ)Q≡1,5(mod12)，p1≡13(mod24)，p2≡19(mod24)，

1 相关定理

在下列条件下只有平凡解(x,y)=(1,0)：

(ⅰ)D≡11,19(mod24)，p1≡1(mod24)，p2≡13(mod24)；

(ⅱ)D≡5,13(mod24)，p1≡13(mod24)，p2≡19(mod24)；

(ⅲ)D≡1,17(mod24)，p1≡13(mod24)，p2≡19(mod24).

2 定理证明

证明设(x,y)是方程(2)的一组整数解.因x3-53=(x+5) (x2+5x-25)，而gcd(x-5,x2+5x+25)=gcd(x-5,(x-5)2+15(x-5)+75) =gcd(x-5,75)=gcd(x-5,3×52)，即

当x≡0(mod5)时，此时5|(x-5)，故5|gcd(x-5,3×52)，令x=5x1，则不定方程(2)可化为

由(3)知25|y，于是令y=25y1，则方程（3）可化为53(x13-1) =252Ty12，则有x13+1=5Ty12=2×5p1p2Qy12=2p1p2(5Q)y12,即

当Q≡7,23(mod24)时，有5Q≡11,19(mod24).而此时p1≡1(mod24)，p2≡13(mod24)，取D=5Q，则满足引理1的条件(ⅰ)，故由引理1得方程(4)在条件(Ⅰ)下仅有平凡解(x1,y1)= (1,0)，所以方程(2)在条件(Ⅰ)下仅有平凡解(x,y)=(5,0).

因为Q≡1,5(mod12)，则Q≡1,5,13,17(mod24).

当Q≡1,17(mod24)时，5Q≡5,13(mod24).而p1≡13 (mod24)，p2≡19(mod24)，取D=5Q，则满足引理1的条件(ⅱ)，故由引理1得方程(4)在条件(Ⅱ)下仅有平凡解(x1,y1)=(1,0)，所以方程(2)在条件(Ⅱ)下仅有平凡解(x,y)=(5,0).

当Q≡5,13(mod24)时，5Q≡1,17(mod24).而此时p1≡13 (mod24)，p2≡19(mod24)，取D=5Q，则满足引理1的条件(ⅲ)，故由引理1得方程(4)在条件(Ⅰ)下仅有平凡解(x1,y1)=(1,0)，所以方程(2)在条件(Ⅰ)下仅有平凡解(x,y)=(5,0).

综上有，当x≡0(mod5)时方……