基于时间序列的反向累加灰色模型在沉降预测中的应用

□ 李铁王建营（.天津市武清区规划建筑设计所，天津武清30700；.天津市测绘院，天津西青30038）

基于时间序列的反向累加灰色模型在沉降预测中的应用

□ 李铁1王建营2
（1.天津市武清区规划建筑设计所，天津武清301700；2.天津市测绘院，天津西青300381）

根据沉降监测系统的特点，结合灰色模型理论和时间序列分析，采用反向累加建立灰色模型，进行监测数据序列趋势项的提取，并对去趋势项后的残差利用时间序列进行建模，建立组合预报模型。对建筑物的实际沉降监测进行了预报分析，与单一模型预报结果进行比较，表明组合模型在沉降监测分析预报中要优于单一模型，在工程中具有一定的可行性和实用性。

沉降监测；反向累加灰色模型；时间序列；沉降预测

0.引言

对于沉降监测系统而言，通常沉降过程是非平稳的，监测数据序列包括趋势项和随机项，采用单一的模型进行建模预测，精度不是很好。常规灰色模型的建立都是基于正向累加数据，往期监测的数据占权重大，因此在沉降分析预报中随着监测周期的增加难免有不足之处。时间序列要求数据序列平稳，需对数据进行差分处理，这会导致精度不理想[1]。本文利用改进的反向累加灰色模型 以提取趋势项，对剩余平稳残差采用时间序列 模型建模，达到了很好的预测精度。

1.反向累加灰色模型

1.1 反向累加原理

为原始序列，将该数列作一次反向累加生成得到新的数列：

1.2 模型的优化及求解

灰色模型的精度与背景值密切相关。常规灰色模型直接取两点之间的1/2，不可避免的产生以直代曲的误差，以两点区间之间的曲线与坐标轴轴围成的面积作为背景值，更能够准确地反映出背景值的真实情况，即取齐次指数曲线在两点间的积分值。COM（1，1）模型优化背景值为[2]：

则方程（1）的时间响应序列为：

模拟值为：

2.基于时间序列的COM（1,1）模型的建立

2.1 时间序列方法

时间序列分析的基本思想是：对平稳、正态、零均值分布的时序 xi｛｝，若xi的取值不仅与前n步的各个取值xi-1，xi-2，xi-3……xi-n有关，且与前m步的各个干扰ai-1，ai-2，ai-m，……ai-m（白噪声）有关，则按多元线性回归的思想，可得一般的ARMA模型，其表达式为：

记为ARMA（p，q）模型，式中p，q分别为自回归部分和滑动平均部分的阶次为相应的自回归系数和滑动平均系数[3]。

2.2 基于时间序列的反向累加灰色模型的建立

反向累加灰色预测模型能够反映出沉降变化的趋势,但在残差中还包含小部分沉降量。因此，对建立的反向累加灰色模型可视为沉降数据的趋势项，对原始数据序列消除趋势项和周期项部分，得出数据残差序列，用时间序列方法对残差进一步分析，用以修正COM（1,1）模型，进而建立基于时间序列的反向累加灰色模型。其步骤如下：

1，2，……，n),进行反向累加，建立GOM（1,1）灰色模型；

（2）以GOM（1,1）灰色模型提取趋势项，获得数据残差序列

（3）对残差序列用利用时间序列模型进行建模，以AIC准则判断模型的阶次，并检查模型的适用性。

（4）用改进反向累加COM（1,1）灰色模型和ARMA（1,1）模型的相结合组合模型进行预测：

其中x（0）（t+1）为COM（1,1）预测得到变形趋势项，y（t+1）为时间序列模型预报得到随机项序[3][4]。

3.算例分析

表1为某高层建筑物中10号监测点2010年采集的沉降数据，首先以其前25期监测数据分别建立COM（1,1）模型提取趋势项,并对后10期数据进行预报，其拟合残差数列见图1，预报结果见图2。

表1 某高程建筑物1-25期沉降监测数据（单位mm）

图1 GOM建模拟合预报（单位：mm）

图2 GOM模型提取趋势向后拟合残差图（单位：mm）

由图1去趋势项后的前25期的残差序列，可以看出监测残差序列明显消除了趋势性。利用AIC准则确定时间序列模型的阶次为p=1，q=0，对残差序列建立AR（1）模型。利用建立的AR（1）模型对监测数据随机项进行预测，并与GOM（1,1）模型预报得到的趋势项相结合，其预测结果见表2。

表2 26-35期数据预测值与实测值（单位mm）

图3 预测结果与实测值对比（单位：mm）

由表2可以得出单一的COM（1,1）预报残差最大为0.22mm，均值在0.15mm左右；组合模型预报残差明显小于单一COM（1,1）模型，最大残差为0.1mm，大部分预测残差在0.05mm左右。且由图3也可以明显看出组合模型预测精度较高，并体现出了沉降数据趋势项外的随机性，因此对于高要求的沉降监测系统来说，基于时间序列的反向灰色模型在沉降监测预报分析中更有优势。

4.结论

沉降监测系统是一个动态过程，新的监测数据更能反映沉降趋势的变化，采用反向累加能够让新的监测数据在灰色系统中所占的权重大大增加，对于未来沉降趋势变化预测更加准确。对残差序列采用时间序列模型来修正COM（1,1）模型的预报结果，建立基于时间序列的反向累加灰色模型，不仅反映出建筑物沉降的趋势性，更体现出其随机性，符合沉降数据的规律。组合模型对监测数据预测精度要优于单一灰色模型，并且在实际工程中得到了良好的应用，为建筑物的沉降监测预报提供了参考。

【1】黄声享,尹晖,蒋征.变形监测数据处理[M].武汉：武汉大学出版社，2010.

【2】罗党，刘思峰，党耀国.灰色模型GM（1，1）优化[J].中国工程科学，2003（08）：50-53.

【3】王剑，张书华.变形预测的加权灰色GOM（1，1）模型与时序方法[J].矿业快报，2006（02）：25-27.

【4】陈启华，文鸿雁，王文杰等.基于抗差估计的灰色模型与时间序列组合模型及其在变形监测中的应用[J].工程勘察，2012（08）∶51-54.

【5】徐进军，王海成，白中洁.反向累加灰色模型的建立及其在沉降预测中的应用[J].测绘信息工程，2012（02）：1-3.

P258

A

2095-7319（2015）03-0071-04

李铁（1980—），男，大专，工程师，天津市武清区规划建筑设计所，现在主要从事工程测量方面工作。