构造法在解数列问题中的应用分析

孙晓国

数列相关内容是高中数学教材中一个重要的知识点，在每年的高考试题中占有相当的比例.在素质教育背景下，提高学生的逻辑思维能力和创造能力对学生的发展至关重要.虽然教材上给出了一些数列的相关计算方法，如等差、等比数列的通项公式以及前n项和公式，但是在具体的应用和考试中，题目所给的已知条件并不能直接套用公式，所以掌握一些新的解题方法，对学生的应试能力和创造能力都非常重要.在数列的学习中，构建新数列是一种基本、有效的方法.

下面就构造法在解数列问题中的应用谈点体会.

一、利用待定系数法解数列问题

待定系数法是解函数问题的基本方法之一.数列作为一种特殊的函数，待定系数法同样有着重要作用.

类型Ⅰ：已知首项a1和an+1=can+d（1），求数列{an}的通项公式或者前n项和.

对于类型Ⅰ的数列问题，解题的基本思路如下：首先利用待定系数法，设an+1+λ=c（an+λ）（2），然后整理代数式与原代数式进行比较，解出λ值，最后利用新数列解数列问题.（2）式可以写成：an+1=can+（c-1）λ（3）.因为（1）式和（3）式相等，所以（c-1）λ=d，从而得到λ=dc-1.换句话说，构造了新的等比数列bn=an+dc-1，然后利用公式法求解.

例1 已知在数列{an}中，a1=-1且an+1=2an+3，求数列{an}的通项公式.

解析：这道题目正好是类型Ⅰ的形式.根据上面的思路，发现：λ=32-1=3，所以新数列bn=an+3是以a1+3=2为首项，以2为公比的等比数列，容易求得{bn}的通项公式，从而得到数列{an}的通项公式.

类型Ⅱ：已知a1和an+1=can+bn+d，求数列{an}的通项公式或者前n项和.

对于此类型的数列问题，可以将原式……