聚合物脊形光波导TM模色散特性的偏振修正

廖进昆， 唐雄贵， 高 原， 万文杰， 张晓霞， 刘 永， 刘永智

(1. 电子科技大学 光电信息学院, 四川 成都 610054；2. 湖南师范大学 物理与信息科学学院, 湖南 长沙 410006)

聚合物脊形光波导TM模色散特性的偏振修正

廖进昆1*， 唐雄贵2， 高 原1， 万文杰1， 张晓霞1， 刘 永1， 刘永智1

(1. 电子科技大学 光电信息学院, 四川 成都 610054；2. 湖南师范大学 物理与信息科学学院, 湖南 长沙 410006)

有机聚合物脊形光波导的色散特性对聚合物光子学器件性能具有重要影响。本文利用标量变分理论计算脊形光波导的有效折射率，其用到的近似光场分布运用变分有效折射率法获得。考虑折射率分布的横向变化，基于导模满足的矢量波动方程，利用微扰法对标量变分理论所得有效折射率进行偏振修正，求得精度更高的色散特性。对聚合物多模脊形光波导基模和高阶模的色散特性进行分析，研究了波导结构参数对色散特性的影响，分析了单模波导TM、TE基模的偏振色散特性。研究结果表明，运用本征方程分析TM模的色散特性误差大，必须加以修正；而对于TE模，其误差相对较小。

集成光学； 光学波导； 光学聚合物

1 引 言

有机聚合物脊形波导是聚合物光子学中的重要组成部分，现已在光子学器件、光互联、测量系统、生物医学等领域得到广泛的应用[1-6]。在实际应用中，由于周围环境因素的影响，如温度、压力以及光波长的改变，光波导的传输特性也会因此改变，严重时将恶化相关性能，使其不能正常工作。因此，对聚合物脊形光波导的色散特性建立快速而准确的分析显得尤为必要[7]。过去对脊形光波导的分析主要建立在借助有效折射率法(EI)所导出的本征方程，通过求解该超越方程来获得脊形波导的色散特性，该方法计算量小但精度低，在要求高精度的情形下有较大的困难，尤其是对TM模误差更大。

从聚合物材料的特性来看，光波导的制备运用旋涂和反应离子束蚀刻等工艺，因此光波导采用脊型波导结构。为了较准确地模拟聚合物光子学器件的性能，必须首先从理论上对光波导的特性进行分析。由于脊形光波导的结构复杂没有严格闭定式解，因此需采用数值方法或近似法进行分析。常用的光波导分析方法有有限元法、有限差分法、束传播法和变分法、有效折射率法等[8-12]。

对于聚合物电光调制器等器件中工作于TM00模的脊形光波导，由于加工的不完善或波导中的非均匀结构如Y分支、S弯等，将激励起高阶模和更低阶模式TE00。这些模式因其传播特性不同而呈现色散特性。本文利用标量变分公式计算光波导的有效折射率，其中所涉及的聚合物脊形光波导中基模和高阶模的光场分布由变分有效折射率法计算(VEI)[13]。在此基础上，为了分析波导中不同模式光场的偏振色散特性，在计算各模式的有效折射率时，必须考虑光波场的矢量性质，即进行偏振微扰修正(PM)。研究结果表明，基于本征方程分析TM模的色散特性误差大，必须加以修正；而对于TE模，其误差相对较小。运用标量变分加以偏振微扰修正(VEI+PM)方法可获得更准确的色散特性，以及光波导结构参数对色散特性的影响，对于高性能光子学器件的研究具有重要的意义。

2 标量变分公式和偏振微扰修正

图1所示为脊形光波导的横截面结构及其等效平板波导。

图1 脊形光波导结构及等效平板波导

Fig.1 Structure of optical rib waveguide and its equivalent slab waveguide

设上述光波导的横向分析区域为Ω，不考虑光波导折射率横向变化，光波导的横向光场分布主分量Ψ满足如下的二维标量波动方程

(1)

其中，n(x,y)是折射率横向分布，neff是由本征方程待求的有效折射率，k是自由空间波数。利用VEI，可将上述光场分布ψ(x,y)表示为子区域光场的叠加，即

ψ(x,y)=X(x)[Y1(y)+RY2(y)]，

(2)

其中，X(x)Y1(y)和X(x)Y2(y)分别是Ⅰ、Ⅲ和Ⅱ中的近似光场分布，R是变分参数，X(x)、Y1(y)、Y2(y)的具体表达式见附录。为求得变分参数，用Ψ乘以式(1)两边，将式(2)带入式(1)中并在横向分析区域Ω内积分，可得到变分参数R满足的二次代数方程。取绝对值较小的根，代回式(2)即得光波场横向分布。研究表明，由该方法得到的光场分布具有更高的精度，可以作为实际光场的高阶近似[13]。

如果Ψ是波动方程(1)的精确解，为得到准确的传播常数，将式(1)两边同乘Ψ并在区域Ω上积分，分部积分后得：

(3)

也就是说，我们可以借助上述标量变分公式由标量波动方程(1)的解计算出导模的传播常数。如Ψ由VEI得到，代入式(3)得出neff的方法简称为VEI。可以证明，对于式(1)的精确解，上述β2将达到最大值，即neff=β/k达到最大值，就是说，由式(3)计算出的有效折射率如果比本征方程的结果要大，即说明式(3)的结果精度更高，这为传播常数的精确计算提供了依据。研究表明，这样得出的neff的精度比EI所得的精度高，但因忽略了折射率的横向变化而可能得出不满足物理意义的neff，所以必须加以修正。

考虑光波导折射率的横向变化，光场分布的横向磁场分量Ht应满足下述矢量波动方程：

(4)

横向电场分量Et也满足类似的方程。对于TM模，横向场主分量Hx满足的波动方程简化为

(5)

(6)

由于Ψ满足式(1)，得到TM模传播常数的修正公式为

(7)

其中，βy表示偏振修正后的传播常数，β为将式(2)带入式(3)计算所得。对于有机聚合物非磁性介质，磁场的切向和法向均连续，可近似地取

Hx=Ψ，得到偏振微扰修正公式：

(8)

修正后的传播常数为

(9)

有效折射率为

neffy=βy/k,

(10)

对于TE模，横向场主分量Ex满足的波动方程简化为

(11)

类似地，可得到TE模传播常数的修正公式：

(12)

其中，βx表示偏振修正后的传播常数，修正后的有效折射率为neffx=βx/k。需要说明的是，在式(8)与式(12)的计算中均涉及折射率的微分。对于阶跃折射率分布而言，其常义导数为无穷大因而无意义，必须将该导数视为广义函数，即狄拉克的δ函数[14-15]。

3 结果与讨论

为了确认本文方法的正确性和所具有的计算精度，采用已有数值分析结果的GaAs/GaAlAs脊形波导[8,10,16]作为比对，其材料的折射率与结构参数相当于图1中的n1=1.0，n2=3.44，n3=3.40，w=3 μm和λ=1.15 μm。取D=1.0 μm，改变芯层厚度，即d=0.5～0.9 μm，计算有效折射率并转换成归一化模折射率b进行比较。模折射率的定义为[8]

表1 TE00偏振微扰修正与有限差分法及有限元法计算结果的比对Table 1 Normalized mode indexes calculated by the scalar variational effective index method plus the perturbation method in this paper (VEI+PM) for TE00 mode(Comparison with the semi-vectorial finite difference (FD) and the vector finite element (FE) methods)

表2 TM00偏振微扰修正与有限差分法计算结果的比对

Table 2 Normalized mode indexes calculated by the scalar variational effective index method plus the perturbation method in this paper (VEI+PM) for TM00mode (Comparison with the semi-vectorial finite difference (FD) methods)

d/mb(VEI+PM)b(FD)Difference/%0.60.30790.3263-4.720.70.31500.3382+0.350.80.32680.3525+0.140.90.34480.3696-0.27

(13)

采用标量变分加以偏振微扰修正以及FD、FEM计算的结果列于表1、表2中，分别是对TE00模、TM00模所得的结果。

从表中可见，只要芯层厚度稍大于截止厚度，即d>dc时，本方法具有更高的精度[8,10,16]。截止厚度的公式见附录。此处，截止厚度分别为dc-TE= 0.49 μm,dc-TM=0.53 μm。

3.1 多模波导的偏振色散特性

脊型波导的结构如图1所示，w是脊型波导的宽度，脊的高度取为D-d=0.3 μm。上包层和下包层均采用紫外固化环氧ZPU430，其折射率n3=1.43；芯层由PI-DAIDC构成，折射率为n2=1.67[17]。利用上述理论，即VEI和VEI+PM对TM、TE模分别进行分析,并将EI的计算结果作为比较。为了验证本文方法的有效性，多模波导只考虑理论上可以建立高次模的脊形光波导结构，而不讨论所谓大横截面单模脊形光波导条件[18-19]。在上述假设下，对于多模波导取D=3.8 μm、d=3.5 μm，图2给出有效折射率随脊宽的变化趋势(对TM00,TE00：w=1～10 μm，Δw=1 μm； 对TM01,TE01：w=13～21 μm，Δw=1 μm)。

图2 TM00、TM01、TE00、TE01有效折射率随脊宽的变化及偏振修正。

由图2可见，对于TM模，3种分析方法所得结果差异明显，由变分加微扰修正VEI+PM后有效折射率的精度有了明显提高；而对于TE模，这种差异要小得多。从图2还可看出，有效折射率随脊宽的变化较缓慢，有效折射率随脊宽的增加而增大。TM、TE模等效折射率随波长的变化曲线如图3所示(λ=1.0～1.9 μm，Δλ=0.1 μm)。可以看到，TM、TE模有效折射率的变化规律同上类似，且等效折射率随波长的增大而减小。

TM、TE模的等效折射率随脊高的变化如图4所示(D-d=0.1～1.0 μm，ΔD=0.1 μm)。等效折射率随脊高的增加而逐渐增大，同时对TM模进行变分加微扰修正后，有效折射率的精度更高。

图3 TM00、TM01、TE00、TE01有效折射率随波长的变化及偏振修正。

图4 TM00、TM01、TE00、TE01有效折射率随脊高的变化及偏正修正。

从上述分析结果可以看出，有机聚合物脊型光波导具有下列一些特点：(1)在结构参数与工作波长相同的情况下，修正后同一阶TM模的neff较TE模的neff要小，符合已有的实验观察结果。(2)对于TM模，上述3种方法得出的neff具有明显的差异。由VEI得出的neff大于EI得出的neff，这说明变分法得到的光场分布具有更高精度。但是，TM模的neff超过了同阶TE模的neff，这说明不能忽略折射率的横向变化。(3)对于TM模，在VEI得出的neff基础上进行偏振修正，即由VEI+PM得出的TM模的neff小于同阶TE模的neff，介于VEI与EI的结果之间，表明在符合实验观察的前提下精度得到了提高。(4)对于TE模，由3种方法得到的有效折射率满足与TM模类似的数量规律，但是在很多情形下比起TM模来说其差别小得多。其主要原因是在求解TE模主分量Ex时，已考虑了在介质分界面处的连续性，偏振修正意味着还需使电位移矢量D在脊两侧法向连续，而这样的贡献要小得多。总的来说，用本征方程计算TE模有效折射率的误差较小，而分析TM模有效折射率的误差大，必须加以修正。

3.2 基模的偏振模色散

应加快老龄事业和产业发展，整合多元化的行业资源，向社会传播健康老龄化理念，为民众提供全方位全周期的健康服务。老年人口数量庞大也同样代表着老年消费群体的庞大，可以带动老年产业经济。因此，如果以老年人口的需要为导向，可以为经济发展带来众多机遇。

在有机聚合物光子学器件(如调制器)中，一般利用极化工艺使材料获得电光效应。为此，通常采用电晕极化方案，其极化电场沿垂直方向。为了利用最大电光系数r33，光波也取为垂直偏振，即脊形光波导应工作在TM模。按光波导设计原则，为保证单模工作，高于TM00的模场属于截止区，在直波导中只要传输一定距离即衰减为零。但是由于波导加工不完善或波导中的非均匀结构，将激励起TE00模(高阶模式因为快速衰减可不考虑)。这样，在脊型光波导中将不能保证单模条件工作。TM00、TE00不同的传播特性将引起偏振模色散，这将影响器件的性能。对于满足TM模单模工作的脊形光波导，其结构参数[20]可取为上包层和下包层分别采用紫外固化环氧NOA72和NOA61，芯层由IPC-E构成。对于TE模，上包层折射率n1=1.540 6，下包层n3=1.547 2，芯层折射率n2=1.660 8；对于TM模，上包层折射率n1=1.540 4，下包层折射率n3=1.547 2，芯层折射率n2=1.660 8。D=3.3 μm，d=2.65 μm，w=5,8,11 μm。利用VEI+PM得到有效折射率在不同脊宽下随波长变化的曲线如图5所示。

由图5可见，TM00、TE00模的有效折射率具有十分明显的差异，将引起相关的偏振色散效应。对于电光调制器、可调光开关等基于光波的干涉效应工作的器件，该色散效应将影响器件的性能。

图5 TM00、TE00在不同脊宽下的偏振模色散特性曲线。

Fig.5 Curves of dispersion characteristics for TM00, TE00polarized modes in different ridge width.

4 结 论

利用标量变分公式分析了有机聚合物多模光波导的有效折射率，并考虑折射率的横向变化和光场的矢量性质，采用偏振微扰公式对上述折射率进行修正，得到聚合物脊型光波导的偏振色散特性，同时还分析了上述材料制成的脊形光波导的结构参数对波导色散特性的影响。最后，对聚合物光子学器件中工作于TM00的波导的偏振色散特性进行了分析。研究显示，由本征方程分析脊形波导TM模色散特性的误差较大，采用标量变分理论计算其精度虽有所提高，但仍然包含忽略折射率横向变化引入的误差，必须进行偏振修正。从文中大量数据看出，标量变分再加以偏振修正后的结果符合实验观察并具有更高的理论精度，这为分析聚合物光子学器件的色散特性与偏振依赖性提供了一种较简便的理论方法。

附 录

1.光场分布的分段函数表达式[21]

(A1)

其中，

(A2)

(A3)

(A4)

其中，

(A5)

(A6)

(A7)

其中

(A8)

(A9)

2.截止厚度公式

对TE模

(A10)

对TM模

(A11)

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Polarized Correction of Dispersion Characteristics of TM Modes in Polymer Optical Rib Waveguides

LIAO Jin-kun1*, TANG Xiong-gui2, GAO yuan1, WAN Wen-jie1, ZHANG Xiao-xia1, LIU yong1, LIU Yong-zhi1

(1.SchoolofOpto-ElectronicInformation,UniversityofElectronicScienceandTechnologyofChina,Chengdu610054,China;2.CollegeofPhysicsandInformationScience,HunanNormalUniversity,Changsha410006,China)
*CorrespondingAuthor,E-mail:jkliao@uestc.edu.cn

The dispersion characteristics of organic/polymer optical rib waveguide affect the performances of polymer photonic devices greatly. In this paper, the effective refractive index of optical rib waveguide was calculated by scalar variational formula, and the distribution of optical field used was obtained by using effective index method (EI) approximately. Considering the transverse variations of refractive index distribution and based on the vector wave equation governing the guided modes, the effective index obtained by scalar variational formula (VEI) was modified by perturbation method (PM) for precise dispersion characteristics. The dispersion characteristics of the fundamental and higher order modes were analyzed for polymer multimode rib waveguides. An approach was provided to investigate the effect of the structure parameters and dimensions on the polarized dispersion characteristics of the fundamental and higher order modes for TM, TE modes. The polarized dispersion characteristics of single mode waveguide were analyzed for TM, TE fundamental modes. It is demonstrated that the dispersion characteristics of TM mode obtained by eigenvalue equation must be modified duo to the large error, and the error for TE mode is small relatively.

integrated optics; optical waveguide; optical polymer materials

廖进昆(1962-)，男，四川成都人，副教授，1990年于电子科技大学获得硕士学位，主要从事集成光学、量子信息与微波光子学等方面的研究。

E-mail： jkliao@uestc.edu.cn

1000-7032(2015)05-0526-08

2015-02-09；

2015-04-03

国家自然科学基金(61275039)； 国家自然科学基金重点项目(61435010)资助

TN252.34

A

10.3788/fgxb20153605.0526