滚珠丝杠副空回程角的研究

朱自清， 吴柯锐， 侯文， 李建民， 张博川

（1.中北大学a.仪器科学与动态测试教育部重点实验室，b.机械与动力工程学院，太原030051；2.空军驻山西地区军事代表室，太原030024）

0 引言

滚珠丝杠副是一种高效、精密的定位传动部件，目前已广泛地应用于数控机床、航空航天、半导体制造等行业。滚珠丝杠副在工作过程中，由于轴向载荷的施加，使得滚珠和滚道发生弹性变形，导致滚珠丝杠副在换向工作的过程中会产生一定的滞后，在滚珠丝杠副中用空回程角来描述。空回程角的存在，造成了滚珠丝杠副轴向定位的误差，会对滚珠丝杠副的性能产生影响。之前已有相关学者对滚珠丝杠副空回程角的问题进行了研究，刘建佐等［1］在研究滚珠丝杠副的空回程角的问题时，从理论上论述了空回程角的产生原因和影响因素，但并未推导出具体的计算公式；姜洪奎等［2］研究了滚珠丝杠副的弹性变形，得到了滚珠丝杠副弹性变形和各项参数之间的关系,但并未对空回程角和弹性变形之间的关系加以说明。本文在现有研究成果的基础上，通过赫兹接触理论从理论上推导出空回程角的计算公式，给出了空回程角和螺旋升角、接触角以及载荷分布系数之间的关系；最后以2004-3型滚珠丝杠副为算例，在轴向力为100 N的情况下对其空回程角进行了理论计算，并通过和有限元分析软件ANSYS的仿真结果进行比照，验证了结论的正确性。

1 滚珠丝杠副中空回程角和螺旋升角、接触角、载荷分布系数之间的关系

在滚珠丝杠副的工作过程中，在运动方向未发生改变的情况下，由于轴向力的作用，滚珠和滚道之间会发生弹性变形；当运动方向突然改变时，之前所发生的弹性变形先是减小到零，然后再一次在滚珠和滚道之间发生弹性变形，在这些动作完成之后，丝杠和螺母的运动才会相协调。在这个过程中所产生的弹性形变，正是产生空回程角的真正原因，所以接下来就先分析一下在换向过程中发生的弹性形变。

1.1 滚珠的受力分析

滚珠在运动的过程中，主要受到沿滚道切向的摩擦力和沿滚道法向的力，而和弹性变形有关的只是法向力，所以我们在下面的内容中主要分析法向力。滚珠作为滚珠丝杠副传动的中间元件，各个滚珠受到的力不同，也就是说工作载荷的分布是不均匀的，为了分析方便，假设滚珠受到的载荷是沿着螺旋滚道呈比例递减的。设初始滚珠受到的法向载荷为P0，滚珠所承受的载荷衰减系数为α，则第i个滚珠受到的法向载荷Pi=αi-1P0。所以，总体滚珠的法向载荷与螺母受到的轴向推力Fa之间的关系为

式中：λ为螺旋升角；β为滚珠与滚道接触角。由于α＜1，所以式（1）可写为

1.2 滚珠和滚道发生的弹性形变

根据赫兹接触理论，在法向载荷的作用下，滚珠和滚道的接触处发生弹性变形（包括滚珠的变形和滚道的变形），其法向弹性变形的计算公式如下［3］：

式中，μ1、μ2及 E1、E2分别为滚珠和丝杠材料的泊松比和弹性模量；∑ρs、∑ρp分别表示螺母侧和丝杠侧滚道的主曲率之和；αs、αp分别为螺母侧和丝杠侧的载荷分布系数，Js、Jp是由赫兹接触参数τ确定的椭圆积分。

其中，滚珠与螺母滚道接触点处的4个主曲率［4］分别为

同理，滚珠与丝杠侧滚道接触点处的4个主曲率分别为

式中，ψ为接触体主平面方向和接触椭圆长半轴的夹角。由于接触体滚珠为球体，所以ρ11=ρ12，上式可简化为

因为J为由τ确定的椭圆积分，所以在得出τ之后，通过查询椭圆积分表［5］可得出J的值。

因为空回程角的存在会对滚珠丝杠副的轴向定位产生影响，所以将滚道的法向弹性位移投影到丝杠轴向上，得到丝杠的轴向弹性位移，设其值为δa，则

1.3 换向过程中产生的空回程角

以上分析的是在运动方向发生改变之前，当运动方向发生改变之后，滚珠和滚道所发生的弹性变形也是δa，所以在产生空回的过程中，轴向弹性变形为2δa，也就是说丝杠和螺母相对运动2δa之后才进行同步的传动。所以在这个过程中产生的空回程角为

2算例

为了证明滚珠丝杠副弹性变形模型的正确性，通过理论计算和有限元仿真两种方法对其进行验证。以2004-3型滚珠丝杠副为例，其各项参数为：丝杠公称直径d0=20 mm，丝杠导程Ph=4 mm，滚道（双圆弧滚道）半径R=2.08mm，滚珠直径Dw=2.381 mm。滚珠承载载荷的衰减系数 α=0.8，载荷分布系数 αs=αp=0.85，接触角 β=45°，丝杠、滚珠和螺母的材料均为轴承钢，丝杠和螺母的弹性模量E1=2.06×105MPa，泊松比 μ1=0.3；滚珠的弹性模量 E2=2.1×105MPa，泊松比μ2=0.3；所受的轴向力Fa=100 N。

2.1 滚珠丝杠副空回程角的理论计算结果

该型滚珠丝杠副的导程Ph=4 mm，所以其螺旋升角可以通过下面的公式来计算：

通过所给参数进行计算，可得滚珠与丝杠滚道接触点处的 4 个主曲率及主曲率之和为：ρ11=ρ12=839.9832m-1；ρ21=-480.769231m-1；ρ22=65.376532m-1；∑ρp=1264.573701m-1。

同理，滚珠与螺母滚道接触点处的4个主曲率及主曲率之和为：ρ11=ρ12=839.983 2 m-1；ρ21=-480.769 231 m-1；ρ22=-55.224 232 m-1；∑ρp=1 143.972 937 m-1。

根据主曲率及主曲率之和的值，得出赫兹接触参数，继而查找椭圆积分表，得：Js=1.629 480；Jp=1.652 514。

将滚珠丝杠副的各项参数带入式（13）中，得到空回程角的理论值：δa=0.33×10-4m；θ=0.103 613 rad。

2.2 滚珠丝杠副弹性变形的有限元分析

在滚珠丝杠副模型中，涉及到了滚珠和滚道的接触，而接触问题作为一种边界非线性问题，接触边界随载荷非线性变化是其难点，因此根据滚珠丝杠副的结构特点，将其简化成只有单个滚珠的模型，并且选用Solid45作为它的单元类型，其他参数保持与理论计算参数一致，建立了滚珠丝杠副的有限元模型。

在建立了滚珠丝杠副的有限元接触模型之后，对其进行接触对的添加。因为在实际工作的过程中，滚珠和滚道的接触是点接触，所以我们在建模的过程中也选用点接触。关于目标面和接触面的选定，我们选择滚珠表面作为目标面，滚道作为接触面。建立接触对的过程中，摩擦因数设定的是0.02。在接触对建立好之后，对其进行加载，给丝杠滚道的下边线和螺母滚道的上边线各施加一个Y方向的位移约束，防止其在受力时发生Y方向的移动；在丝杠侧和螺母侧各施加100 N的恒力（此处须生成一个关键点，便于力的施加）；对滚珠不作任何约束。然后对其进行求解，求解完成后的结果如图2所示。

仿真结果显示滚珠丝杠副在受到100 N的轴向力时，由于滚珠和滚道挤压所产生的弹性变形δa=0.354×10-4m，产生的空回程角为0.111212rad，与理论计算值0.103613rad接近，验证了所建立模型的正确性。

3 结论

本文利用矢量几何学的方法，描述了滚珠丝杠副中滚珠和滚道接触点的运动；利用赫兹接触理论，提出了滚珠丝杠副中空回程角的理论计算公式，并且利用有限元分析软件ANSYS进行了仿真，和理论计算结果进行对比，对工程实践中空回程角的确定有一定的帮助。

［1］ 刘建佐，张成义，王向东.滚珠丝杠副空回程角研究［J］.组合机床与自动化加工技术，2010（12）：1-4.

［2］ 姜洪奎，宋现春，张佐营.螺旋升角对滚珠丝杠副弹性变形的影响分析［J］.中国机械工程，2008，19（9）：1079-1083.

［3］ 宋现春，姜洪奎，许向荣，等.高速滚珠丝杠副弹性变形的有限元分析［J］.北京工业大学学报，2009,35（5）：582-586.

［4］ 李凌丰，刘彩芬.滚珠丝杠副轴向变形分析［J］.中国机械工程，2011，22（7）：762-766.

［5］《椭圆积分表》编写小组.椭圆积分表［M］.北京：机械工业出版社，1979：295.