预不变凸模糊映射的一些性质

张 成，刘 先

（重庆师范大学数学学院，重庆 401331）

预不变凸模糊映射的一些性质

张 成，刘 先

（重庆师范大学数学学院，重庆 401331）

首先利用模糊映射的二次可微性，给出了预不变凸模糊映射的一个充要条件，然后建立了预不变凸模糊映射的一个等价条件，结果为预不变凸模糊映射的判断提供了一个新的思路．

预不变凸模糊映射，二次连续可微，半正定模糊矩阵，等价条件

文献［1］率先提出了模糊数的概念，许多学者对模糊数原理及其应用展开了深入的研究［2，3］．近几年，在最优化理论中，模糊映射的凸性以及广义凸性已经成为研究热点，文献［4］首先提出了凸模糊映射的概念，给出了一个模糊映射是凸的等价条件，但没有提出可微的概念，文献［5］考虑了可微的模糊映射，研究了可微情形下的等价条件以及可微凸模糊规划的KKT条件，这样便揭开了研究模糊优化问题的序幕［6－8］．受文献［7］的启发，利用模糊映射的二次可微性，先证明了预不变凸模糊映射的一个充要条件，进一步，建立了预不变凸模糊映射与半正定模糊矩阵的等价条件．

1 预备知识

用R表示实数集，K⊆Rn是非空集合，下面先给出相关定义．

定义1［4］模糊数μ是具有（1）－（4）的模糊集μ：R→［0，1］

（1）μ是上半连续的；

（2）μ是正规的，存在x0∈R，使得μ（x0）＝1；

（3）μ是模糊凸的，μ（（1－λ）x＋λy）≥min｛μ（x），μ（y）｝，对所有的x，y∈R，λ∈［0，1］；

（4）cl（supp μ）＝cl｛x∈R：μ（x）＞0｝是紧集．

用F表示R上所有模糊数的集合，模糊数的α－水平截集（0≤α≤1），用μ［α］表示：

显然模糊数的α－水平截集为有界闭区间［μ*（α），μ*（α）］，其中μ*（α）表示μ［α］的左端点，μ*（α）表示μ［α］的右端点．任意的m∈R，存在模糊数

模糊数μ可以表示为｛（μ*（α），μ*（α），α）：0≤α≤1｝．

定义2［4］对任意的μ，ν∈F，k为非负实数，模糊数的加法和数乘定义为μ＋~υ＝｛（μ*（α）＋υ*（α），μ*（α）＋υ*（α），α）：0≤α≤1｝kμ＝｛（kμ*（α），kμ*（α），α）：0≤α≤1｝

注1 模糊数的μ的相反－μ满足（－μ）x＝μ（－x），则μ由｛（μ*（α），μ*（α），α）：0≤α≤1｝表示，－μ由｛（－μ*（α），－μ*（α），α）：0≤α≤1｝表示．

注2 用［μ*（α），μ*（α）］来表示模糊数μ．

定义3［6］对于u，v∈F，如果对任意的α∈［0，1］，u*（α）≤v*（α），u*（α）≤v*（α），则称u°v；如果u°v，v°u，则u＝v．如果u°v并且存在α0∈［0，1］使得u*（α0）＜v*（α0）或u*（α0）＜v*（α0），则称u＜v．对于u，v∈F，如果u°v或v°u至少有一个成立，则称u和v是可比较的，否则是不可比较的．

注3 映射F：K→F是模糊映射．对任意的α∈［0，1］，x∈K，F的α－水平截集，记为F（x）［α］＝［F*（x，α），F*（x，α）］．

定义4［7］K是凸集，映射F：K→F是模糊映射，称F（x）在K上的凸模糊映射．如果∀x，y∈K，在K上F*（x，α），F*（x，α）都是凸函数，即∀x，y∈K，λ∈［0，1］，都有：

定义5［8］设η：K×K→Rn，称K为关于η的不变凸集，如果∀x，y∈K，λ∈［0，1］，都有y＋λη（x，y）∈K．

条件C［9］K是不变凸集，称η满足条件C，∀x，y∈K，λ∈［0，1］有：

η（y，y＋λη（x，y））＝－λη（x，y）；η（x，y＋λη（x，y））＝（1－λ）η（x，y）

特别地，当η（x，y）＝x－y时，条件C显然成立．

条件D［10］K是不变凸集，F：K→F是模糊映射，称F满足条件D，∀x，y∈K，都有F（y＋η（x，y））＝F（x）．

显然，当η（x，y）＝x－y时，条件D成立．

定义6［10］K是不变凸集，F：K→F是模糊映射，称F为关于η的预不变凸模糊映射．如果∀x，y∈K，λ∈［0，1］，都有F（y＋λη（x，y））°λF（x）＋（1－λ）F（y）．

定义7［7］K是开集，F：K→F是模糊映射，称F在K上连续，如果∀α∈［0，1］，在K上F*（x，α）和F*（x，α）都是连续函数．

定义8［7］K是开集，F：K→F是模糊映射，对任意的x＝（x1，x2，…，xn）∈K，Dxixj．

（i，j＝1，2，…，n）表示关于xi和变量xj的二阶偏导数．假设存在，并且∀α∈［0，1］，F*（x，α）和F*（x，α）都是连续的二阶偏导数，即DxixjF*（x，α），DxixjF*（x，α）是连续的．定义

对于i，j＝1，2，…，n，α∈［0，1］．如果对于每个i，j＝1，2，…，n．式（1）表示一个模糊数的α－水平截集，则定义模糊映射的Hessian矩阵为

称F在点x处二次可微，如果模糊映射的Hessian矩阵存在，且F*（x，α），F*（x，α）在点x处都是二次可微的．

定义9［7］模糊矩阵，其中aij（i，j＝1，2，…，n）都是模糊数．称为正定模糊矩阵，如果对于∀α∈［0，1］，α－水平矩阵的左端（（a*）ij（α））和右端（（a*）ij（α））都是正定的．类似的，称为正半定模糊矩阵，如果∀α∈［0，1］，α－水平矩阵的左端（（a*）ij（α））和右端（（a*）ij（α））都是正半定的．

引理1［7］K是关于η的开凸集，F：K→F是二次可微模糊映射，则F为K上的凸模糊映射当且仅当对是半正定模糊矩阵．

2 主要结论及其证明

定理1K是关于η的不变凸集，F：K→F是模糊映射，η满足条件C，F满足条件D，对∀x，y∈K，λ∈［0，1］，令G（λ）＝F（y＋λη（x，y））．则F（x）为关于η的预不变凸模糊映射当且仅当G（λ）为凸模糊映射．

证明必要性：由条件C可知：∀x，y∈K，α∈［0，1］，则

若F（x）是关于η的预不变凸模糊映射，根据定义得：∀x，y∈K，λ∈［0，1］，都有

对∀α1，α2∈［0，1］，∀λ∈［0，1］．若α1＝α2，则

不失一般性，假设α1＞α2，则α1－α2＞0，由α1，α2∈［0，1］，可知α2≠1，所以

同理，当α1＜α2时，仍然有G（α2＋λ（α1－α2））°λG（α1）＋（1－λ）G（α2）．

充分性：若G（λ）为凸模糊映射，则对∀x，y∈K，∀λ∈［0，1］

所以F（x）是关于η的预不变凸模糊映射．

定理2K是关于η的开不变凸集，η满足条件C，F为二次连续可微且满足条件D，则F（x）为关于η的预不变凸模糊映射当且仅当对为半正定模糊矩阵．

证明必要性：假设F（x）是二次连续可微且关于η的预不变凸模糊映射，则由定理1可知：对∀x，y∈K，G（λ）＝F（y＋λη（x，y））是定义在［0，1］上的二次连续可微凸模糊映射．根据引理1可知：∀λ∈（0，1），都有是半正定模糊矩阵，而

定理2提供了一种新的判断模糊映射为预不变凸模糊映射的一个新思路．如例1：

例1假设可以验证η满足条件C．令，可以验证F（x）是二次连续可微且满足条件D．对∀x，y∈X，可以验证η（x，y）T▽2F（x）η（x，y）为半正定模糊矩阵．由定理2可知：F（x）是关于η的预不变凸模糊映射．

［1］ZADEH L．Fuzzy sets［J］．Information and Control，1965，8（3）：338-353

［2］DUBOIS D，PRADE H．Towards Fuzzy Differential Calculus-Parts 1，2，3［M］．Fuzzy Sets and Systems，1982

［3］GOETSCHEL R，VOXMAN W．Elementary Fuzzy Calculus［J］．Fuzzy Sets and Systems，1986（18）：31-43

［4］GOETSCHEL R，VOXMAN W．Topological Properties of Fuzzy Numbers［J］．Fuzzy Sets and Systems，1983（9）：87-99

［5］NANDA S，KAR K．Convex Fuzzy Mappings［J］．Fuzzy Sets and Systems，1992，48：129-132

［6］王瑞雪．可微凸模糊映射及模糊优化问题［D］．哈尔滨：哈尔滨工业大学，2008

［7］PANIGRAHI M，PANDA G，NANDA S．Convex Fuzzy Mapping with Differentiability and Its Application in Fuzzy Optimization［J］．European Journal of Operational Research，2008，185：47-62

［8］张萍，黄虎，王早．预不变凸模糊集的一些性质［J］．纯粹数学与应用数学，2006，22（3）：355-359

［9］MOHAN S，NEOGY S．On Invex Sets and Preinvex Functions［J］．Journal of Mathematical Analysis and Applications，1995，189：901-908

［10］WU Z，XU J．Generalized Convex Fuzzy Mappings and Fuzzy Variational-like Inequality［J］．Fuzzy Sets and System，2009，160：1590-1619

Some Properties of Preinvex Fuzzy Mapping

ZHANG Cheng，LIU Xian

（College of Mathematics，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China）

A necessary and sufficient condition for preinvex fuzzy mapping is given by making use of twice differentiable fuzzy mapping，then an equivalent condition of preinvex fuzzy mapping is built．The results provide new thoughts to verify preinvexity fuzzy mapping．

preinvex fuzzy mapping；twice continuous differentiable fuzzy mapping；semi-definite fuzzy matrix；equivalent condition

O159

A

1672－058X（2015）03－0008－04

10．16055／j．issn．1672－058X．2015．0003．002

2014－09－19；

2014－09－22．

张成（1990-），男，四川南充人，硕士研究生，从事最优化理论与算法研究．