“一般”与“特殊”

田载今

我们常把要研究的对象分为“一般对象”或“特殊对象”，例如，当我们把平行四边形看作一般对象时，矩形、菱形和正方形就是其中的几种特殊对象，即几种特殊的平行四边形.又如，当我们把一次函数y=kx+b（k≠0）看作一般对象时，正比例函数y=kx（k≠0）就是一种特殊对象，即一种特殊的一次函数.

一般对象与特殊对象的关系是：一般对象中包含了特殊对象.一般对象的性质，指的是其中各个特殊对象都具有的共性.例如，任一平行四边形都有“对边相等”“对角相等”“对角线互相平分”等性质.特殊对象存在于一般对象之中，特殊对象不仅具有一般对象都具有的共性，而且还有自己的特性.例如，矩形不仅具有平行四边形的所有性质，而且还有“四个角都是直角”“两条对角线相等”等特性，这些特性并非任一平行四边形都会具有.

我们研究对象时，有两种不同的途径.一种是从研究一般对象发展到研究特殊对象，另一种是从研究特殊对象发展到研究一般对象，我们需要根据研究对象的特点，选择适当的研究途径，

一、“从一般到特殊”的研究途径举例

回顾人教版初中数学教科书的第十八章《平行四边形》，大家会发现教科书展现的是“从一般到特殊”的研究途径.

这章的第一节，从认识平行四边形的定义出发，以平行四边形的基本特征（两组对边分别平行）为基础，推导出平行四边形的性质，并由性质的逆命题推导出判定一个四边形是平行四边形的条件（“两组对边分别相等”“两组对角分别相等”“对角线互相平分”“一组对边平行且相等”等）.

这章的第二节，依次认识矩形、菱形和正方形.矩形是有一个角是直角的平行四边形.相对于一般平行四边形，矩形特殊在“有一个角是直角”.根据这一特征，再加上一般平行四边形的共性，就能推导出矩形的特性以及判定方法.菱形是有一组邻边相等的平行四边形.相对于一般平行四边形，菱形特殊在“有一组邻边相等”，根据这一特征，再加上一般平行四边形的共性，就能推导出菱形的特性（“四条边都相等”“对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角”等）以及判定方法.正方形是四条边都相等并且四个角都相等的四边形，它既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以它不仅具有一般平行四边形的共性，而且具有矩形和菱形的特性，在认识了平行四边形、矩形和菱形之后，对正方形这种特殊性更强的平行四边形的认识就水到渠成了.

平行四边形、矩形、菱形和正方形的包含关系，可以用图1来表示.

图1直观地显示出一般对象（平行四边形）包含了特殊对象（矩形和菱形），特殊对象又包含了更特殊的对象（正方形）.由图l可以看出，特殊对象处于一般对象范围之内的特定区域，这表示它除具有一般对象的属性之外，还具有特定的性质，一般地说，如果对象4包含对象B，那么A的外延（即范围）大，B的外延小；A的内涵（即属性）少，B的内涵多.

纵观这章的体系结构，“先研究一般平行四边形，再研究特殊平行四边形”这一“从一般到特殊”的发展脉络十分清晰，

三、“从特殊到一般”的研究途径举例

回顾人教版初中数学教科书第十九章《一次函数》第二节“一次函数”，大家会发现教科书展现的是“从特殊到一般”的研究途径.

这节的第一小节，从认识正比例函数的定义出发，以正比例函数的基本对应关系y=kx（k≠0）为基础，由描点法得出正比例函数的图象是通过原点的一条直线.而由“k>0时，图象经过第一、三象限，从左到右上升；k<0时，图象经过第二、四象限，从左到右下降”，引导出正比例函数的增减性（k>0时，随着x的增大y也增大；k<0时，随着x的增大y反而减小）.至此，完成了用“定义一图象一性质”这一模式研究正比例函数的过程.

这节的第二小节，在正比例函数关系y=kx（k≠0）的基础上，添加常数6，使函数关系发展成为y=kx+b（k≠0），引出了一般的一次函数的定义.按一次函数的定义可知，正比例函数是一种特殊的一次函数，其特殊性在于常数b=0.在研究一次函数的图象时，教科书没有重复描点法這一“原始的”方法，而是引导我们发现y=kx与y=kx+b（k≠0）的联系，借助正比例函数的图象得出一般的一次函数的图象.具体的认识过程是，先提出问题：画函数y=-6x和y=-6x+5的图象，由于y=-6x是正比例函数，其图象是第一小节已经研究过的问题，我们很容易得出它是过原点和点（1，-6）的一条直线.对比两个函数的解析式，可以联想到一次函数y=-6x+5的图象是平行于直线y=-6x并且比它高5个单位的一条直线（图2）.进一步，容易得出一般的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象为过点（0，b）和点（1，k+b）的一条直线，

掌握了一次函数的图象后，联系正比例函数的增减性，借助图象的直观描述，容易得出一次函数的增减性（k>0时，随着x的增大y也增大；k<0时，随着x的增大y反而减小）.至此，完成了用“定义一图象一性质”这一模式研究一次函数的过程.

纵观这节的体系结构，“先研究正比例函数这种特殊的一次函数，再研究一般的一次函数”这一“从特殊到一般”的发展脉络十分清晰，

三 “由浅入深，由简至繁，由易到难”进行研究

“从一般到特殊”和“从特殊到一般”是两种过程相反的研究途径，但它们并非是“一对一错”的对立关系，它们各自都有用武之地，关键在于要用得恰到好处，要适合研究的对象，

“由浅入深，由简至繁，由易到难”是一般研究过程的规律，不论是“从一般到特殊”，还是“从特殊到一般”，都应遵循这样的规律.例如，矩形、菱形和正方形是特殊的平行四边形，它们的内涵比一般平行四边形更多，性质更复杂，判定条件更严苛，而且对它们的研究不能脱离对一般平行四边形的认识，因此“从一般到特殊”地研究平行四边形是符合认识规律的，又如，正比例函数y=kx（k≠0）是特殊的一次函数，与一般的一次函数y=kx+b（k≠0）相比，正比例函数所具有的b=0的特征使其在形式上更简单，由此其图象的位置也更容易确定（必定过原点）.正是由于这些特性，使正比例函数成为一次函数中最简单的特殊对象，而且在认识它的基础上很容易扩展到一般的一次函数，因此“从特殊到一般”地研究一次函数是符合认识规律的，

俗话说“到什么山唱什么歌”“看菜吃饭，量体裁衣”，研究不同的对象，有可能采取不同的研究途径，要具体问题具体分析，没有一成不变的方法.

同学们，回顾并总结研究问题的方法，对于提高研究问题的能力非常有益.认识一般对象与特殊对象的辩证关系，对于更全面地认识事物十分重要.