勾股定理知识快速扫描

姚万里

一 知识要点梳理

1.勾股定理：如果直角三角形两直角边的长分别为a，b，斜边的长为c，那么.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，且长为c的边所对的角是直角.

3.勾股数组：能够成为直角三角形三条边的长的三个正整数，称为勾股数组，常见的勾股数组有3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9.12，15；9，40，41.勾股数组有无数个.

二 解题技巧归纳

1.勾股定理主要用于计算直角三角形的边长.在应用时要注意如下五点：

（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形.

（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代人公式致错.

（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边的长，可以求出第三边的长.

（4）运用勾股定理的前提条件是在直角三角形中，如果已知条件中没有直角三角形，要想利用勾股定理，必须先构造直角三角形.

（5）注意结合数学思想解题：分类讨论思想，数形结合思想，方程思想，整体思想等.

2.应用勾股定理的逆定理时，应注意分三步进行：一计算，二比较，三结论.

3.解题技巧：

（l）利用面积法巧求直角三角形斜边上的高，

例l 已知直角三角形的两条直角边的长是9，12.求斜边上的高，

提示：由勾股定理，得斜边的长为

设斜边上的高是h，则

（2）利用整体思想巧求直角三角形的面积，

例2 在△ABC中，∠C=90°，a+b+c=24，c=10.求△ABC的面积，

解：因c=10，a+b+c=24，故a+b=14，

因，故100+2ab=196.

∴ab=48，

（3）利用勾股定理巧求等腰三角形的面积.

例3 如图1，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm.求△ABC的面积，

三 综合题赏析

例4 （2011年·广安）某园艺公司拟对一块直角三角形花圃进行改造，测得两直角边长为6m.8m现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为一直角边长的直角三角形.求扩建后的等腰三角形花圃的周长.

解析：当题目中没有给出图形时，要画出所有符合题意的图形，以防漏解，设原三角形为Rt△ABC，AC=8m，BC=6m.由勾股定理得AB=1Om.按每两条边相等，可有如下三种情况.

（l）如图3，当AB=AD时，CD=6m.故△ABD的周长为32m.

（2）如图4，当BA=BD时，CD=4m，故△ABD的周长是

（3）如图5，当DA=DB时，设AD=xm，则CD=（x-6）m.则，解得.故△ABD的周长是

综上，扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m或

例5 （2013年·襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图6所示的直角梯形.则原直角三角形纸片的斜边长是______.

解析：顯然，C和F都有可能为原直角三角形的直角顶点.相应地.D和E分别是斜边的中点。于是有图7和图8两种情况，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，（1）如图7，连接CD，则因D为斜边AB的中点，故（2）如图8，连接EF，则因E为斜边AB的中点，故综上，斜边长是

例6 （2014年·郴州）如图9，在长方形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上的一点，将长方形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，则DF的长为______.

解析：根据长方形的性质得CD=A B=8，∠D=90°根据折叠的性质得CF=BC=10.由勾股定理可以求出DF计算略.

例7（2011年·绵阳）王伟准备用一段长30米的篱笆围一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边的长为a米.由于受地势限制，第二条边的长只能是第一条边的长的2倍多2米.

（1）请用a表示第三条边的长，并求出a的取值范围.

（2）能否使得围成的小圈是直角三角形的形状，且各边长均为整数？若能，请说明你的围法；若不能，请说明理由，

解析：（1）由第一条边的长为a米，得第二条边的长为（2a+2）米，第三条边的长为30-a-（2a+2）=28-3a（米）.因三边长的大小顺序不能完全确定（只能确定出2a+2>a），故由两边和大于第三边可知a+2a+

（2）能围成，理由如下：

因为，且a为整数，所以a=5或a=6.所以三角形的三边长分别是5米，12米，13米或6米，14米，10米，当三角形的三边长分别是5米，12米，13米时，所以三角形是直角三角形；当三角形的三边长分别是6米，14米，10米时，，三角形不是直角三角形，所以能围成直角三角形的形状，且三边长分别是5米，12米，13米，

牛刀小试：

1.如图10.将矩形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的点F处.若AB=8cm，BC=lOcm，求EC的长.

2.如图11，有一个圆柱形油罐，其底面圆的周长为24m，高为6m一只蚂蚁从距底面1m高的A处爬行到相对的点B处吃食物.它爬行的最短路线的长为多少？

3.在等腰三角形中，若一边长是6，另一边的长是8.求一腰上的高.

4.如图12，在Rt△ABC中，∠C=90。，AC=4，BC=3.在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使拼成的图形是一个等腰三角形，如图12所示，请画出两种与图12不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长.

点拨：

1.AF=AD=10cm.EF=ED，∠AFE=90°.故EF+EC=DC=8cm.根据勾股定理得BF=6cm.于是FC=4cm.设EC=xcm，则EF=（8-x）cm.因此解得x=3.

2.把圆柱侧面展开成平面图形，如图13，则线段AB为沿侧面爬行的最短路线，其长为13m.还有一种方法是沿圆柱的母线和上底的直径行走，这时走的路线的长为.请比较一下.

3.有如图14所示的两种情况，可先求出△ABC的面积，再利用求出BD.

4.有图15所示的几种拼接方案，供参考.