噪声扩散过程数值分析

摘要：采用常微分方程建立了一种以个体交流为传播方式的泄漏式噪声在种群间扩散的过程方程。模型揭示了传播噪声的种群人数变化的两个特征和峰值到达时间。最后用MATLAB模拟了模型中各參数变化对种群演化的影响。初始传播者、传播能力、未知情者学习能力与传播者人数的峰值成正相关，传播终止率与峰值成负相关。初始传播者越多、传播能力越强，传播高峰来得越早。同时传播终止率和未知情者学习能力对传播高峰到达时间影响不大。

关键词：噪声扩散 数值模型

1 噪声扩散方式

关于噪声的扩散方式，可以借由信息传播进行描述，因为信息和噪声的上层概念都是消息，二者的传播方式非常相近。

基于非确定信息网络结构的研究，非确定性网络是指个体间通过随机碰撞传递信息。非确定性信息网络刻画了金融系统信息传播的非同时性、异质性。Cont和Bouchaud （2000）提出了基于完全随机碰撞交互的金融系统信息传播模型。该模型的优点是和真实金融系统的情况非常接近，个体无需任何关于整个系统的统计信息就可以进行决策。模型较好地刻画了群体性从众行为从形成、演化、消失的动态规律。应尚军等（2001，2003）[1][2]、杨春霞等（2005）[3]改进了个体间交互的规则，通过多种信息传播模型的构建，刻画了信息传播的途径、速度、范围等动态特征，还模拟了价格泡沫的形成和破灭。

基于特定复杂网络的研究。这类研究的思路是由研究者根据其对金融市场的观察与理解，指定金融系统遵循小世界网络或无标度网络模式，进而探索复杂网络演化特征及其对资产价格的影响。Hein和Schwind （2008）等研究了基于小世界网络的股市信息交互结构，发现了个体数量和信息交互强度的变化将影响价格形成过程。陈彦锟（2010）[4]基于无标度网络建立的信息传播结构，研究了泡沫的形成与崩馈的条件。

此外，林俊波（2005）[5]借用Shannon的无线电信号传递原理模型，界定证券市场的信源、信道和信宿，构建了证券市场信息传递模型，比较全面而抽象地概括了证券市场信息扩散过程。

邓忆瑞（2008）[6]借用物理学中“场”的概念，建立了信息扩散场，基于场论，采用逻辑推理和数学分析相结合的方法，构建并求解信息扩散场的扩散状态模型，将信息扩散机理用“场”语言描述出来，并利用马氏漂移链原理建立信息时空扩散模型，描述了信息扩散的时间扩展规律与空间分布特征，并利用计算机对模型进行了模拟。

宋逢明等（2002）[7]对中国股票市场的收益率与交易量进行大量实证研究的基础上，构造了中国股票市场区别于成熟资本市场的特殊信息传导模型，并验证了模型的适用性，还发现不同类型股票的投资者的构成不同，其信息传导结构也不同。

吴忠群（2011）描述了两种特殊的信息模式，泄漏式和爆炸式。信息以渐次传递方式被个体获知称为“泄漏式”，信息瞬间扩散到每一个系统中每个个体称为“爆炸式”。信息的传播途径也可分为通过媒体披露和通过个人交流。这样，不同传播速度和传播途径交织组合在一起，构成信息传播方式的多样性。

Kosfeld（2004）[8]用数理推导呈现了一个关于谣言对市场影响的模型，为其他关于谣言和资产价格的实证提供理论分析基础。模型中个体通过与周围邻居进行交流产生了谣言传播的可能。推导的结果显示，谣言最终消失，长期均衡价格等于谣言前价格；如果谣言仍存在，会造成与谣言有关资产的价格上升。

林春燕和朱东华（2005）[9]从股市内部信息传播如何影响股价的波动和交易量变化为研究角度，建立常微分方程组描述了在未知情者不具备学习能力的情况下，信息自身传播过程，并预测传播高峰，分析其过程中股票交易量的变化情况。该模型证明了两个定理：一是传播信息的投资者人数先单调增加，然后单调减少并趋于零；而是总有一部分人在信息公布前无法得知内部消息。

2 噪声的扩散过程建模

股市噪声从噪声源产生以后总是要流动的，不存在静止状态的噪声。所谓噪声流动也就是噪声的扩散，而噪声扩散又可称为噪声的传递，是指噪声从噪声源产生以后，经过传递渠道送达给信息的全部活动过程。

股市噪声扩散依据传播速度分类可分为两种特殊形式，泄漏式和爆炸式。泄漏式代表信息是以渐次传递方式被公众获知的，爆炸式代表信息是瞬间扩散到每一个受众的；依据传播途径分类可分为，通过媒体披露以及个人之间交流。不同传播速度和传播途径交织组合在一起，可以构成信息传播方式的多样性。

本章重点研究以“泄漏式”为传播方式和以“个人交流”为传播途径的噪声的扩散过程。此类噪声是以“人”为载体进行传播的。每个传播者只通过周围有限个人渐次将噪声扩散出去。本章将建立模型，研究噪声传播者的变化规律来说明此类股市噪声的扩散特征，可以为控制此类噪声扩散提供一定的理论支持。

2.1 模型基本假设

设投资者集合I，噪声产生时刻t。t时刻后，投资者开始分化成三个种群。第一类投资者在t时刻获知噪声并正在转告他人，称为噪声传播者，记为集合D；第二类投资者在t时刻获知噪声但不转告他人，称为传播终止者，记为集合K；第三类投资者不知晓该噪声，称为不知情者，记为集合U，并且有：

I=D+K+U （2-1）

设t时刻上述三类投资者占总投资者的比例分别用D（t）、K（t）、U（t） 表示，所以有：

D（t）+K（t）+U（t）=1 （2-2）

对模型作出如下假设：

①噪声传播者通过有限个个体交流，逐渐将噪声传播出去；

②变量D（t）、K（t）、U（t）为连续可微变量。

③只有噪声传播者D传播给不知情者U才算有效传播。

假设③说明，噪声从人群D到D、D到K两种传播都是无效的，因为D、K两类人群均已知此噪声。

设噪声传播者平均传播率为常数λ，λ为大于等于1的常数，意味着单位时间内，平均每个噪声传播者有向λ个人传播噪声的传播能力，但只有向人群U传播才是有效传播，故噪声传播者在单位时间内传播噪声的有效能力为：

λU（t）（2-3）

设总体投资者的人数为N，单位时间内传播者传播噪声的有效传播人数为：

λNU（t）D（t）（2-4）

上式也表示噪声传播者D单位时间的增加量，即噪声传播者D增加的速度，可以用它来衡量噪声传播的速度。它是U（t）、D（t）的函数。

④传播者D会转换为传播终止者K，传播终止率正比于噪声传播者数量ND，比例系数为μ，μ为大于0且小于1的常数，所以噪声传播者D单位时间减少量为：

μND（t） （2-5）

A4：不知情者具有学习能力。当股价波动，成交量扩大时，会引起持有或对该股票感兴趣的投资者的关注。当有高于（或低于）均衡价的大笔订单成交时，将引起原本不知情的交易者改变他们对该股票的预期价格，有可能对该股进行买卖。噪声传播者越活跃，不知情者参与的概率越大。

设不知情者参与的概率为P（t），随时间的变化而变化，且与D（t）成正比，为不知情者学习能力参数，为大于0且小于1的常数，则有：

（2-6）

学习能力强的投资者会从交易量的变化中猜测噪声，并加入到传播人群中去，这部分人群的单位时间增加量为：

NP（t）U（t） （2-7）

2.2 噪声传播模型

2.2.1 噪声传播方程

当噪声出现时，系统内种群开始分化。不知情者接收到噪声，变成噪声传播者，将噪声扩散出去；之后噪声传播者不再传播，变成传播终止者。

投资者的角色转换过程是U?D?K，三类投资者数量随时间推移呈现“此消彼长”的特征。三类投资者所占比例的变化速率分别记为D′（t）、K′（t）、U′（t）。建立常微分方程组（2-8）如下：

U′（t）=-λU（t）D（t）-p（t）U（t）

D′（t）=λU（t）D（t）-μD（t）+p（t）U（t）

K′（t）=μD（t）

P（t）=D（t）

U（t）+D（t）+K（t）=1

U0>0，D0>0，K0>0（2-8）

2.2.2 种群的演化特征一

噪声是通过个体交流的方式逐渐在人群中扩散的，所以噪声扩散者应该是逐渐增加的。随着时间的推移，不断有新消息进入系统取代先前的噪声成为决策依据。噪声逐渐沦为过时的消息，传播者没有动力去传播噪声，表现为人群D数量的减少。

所以噪声有如下传播特征一：

噪声传播者的种群人数变化规律有两种可能：或单调减少，或先逐渐增加，达到峰值后逐渐减少。

2.2.3 种群的演化特征二

从现实情况来看，噪声的扩散不会至整个系统。由于信息不对称总是存在，交易者在有关交易信息之数量和质量的拥有上不相等，股市消息不会到达每一个人。也就是说，人群中总有人不知道噪声。

如下传播特征二：

不知情者不会随时间的推移而完全消失。

2.2.4 噪声扩散的峰值

根据噪声传播者的变化规律可知，传播者人数必然会在某一时刻达到峰值。到达峰值的时间与初始传播人数、传播终止率、噪声传播者的传播能力和不知情者的学习能力有关。一般地，初始传播人数越大，噪声传播者的传播能力越强，不知情交易者学习能力越强，峰值就会越大，到达峰值的时间就越早；传播终止率则与峰值成负相关。

3 数值模拟与分析

3.1 分析工具的选择

MATLAB是使用较为广泛的模拟工具，提供了7个求常微分方程数值解的函数：ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，ode23t，ode23tb。ode45是解决数值解问题的首选方法，将选择ode45进行方程求解。同时，将选择二维画图函数plot进行函数曲线绘制。

3.2 模拟分析

用MATLAB求解微分方程组，并画出D（t）、K（t）、U（t）三个种群人数演化曲线（演化曲线略）。模型中需要赋值的变量有：

①噪声传播者的初始比例D0在0～1内由随机数生成；

②噪声传播者的初始比例D0与未知情者的初始比例U0之和为1；

③传播终止者的初始比例K0为0；

④参数λ大于或等于1的常数；

⑤参数μ、的取值范围是（0，1）。

3.3 结果分析

①初始时刻，系统中噪声传播者为固定值，是整个系统的噪声传播源，其余人群则是不知情者。当噪声产生后，传播者开始传播噪声，不知情者人数逐渐减少。随着噪声的传播，知晓噪声但不传播的传播终止者人数从0开始逐渐增多。噪声传播者的变化规律与传播能力、传播终止率、未知情者学习能力和初始噪声传播人数都有关。

②其他条件不变，初始状态下，系统中知晓并传播噪声的人数越多，传播高峰来的越快，峰值越大。这符合逻辑推理和实际观察。

③其他条件不变，当传播者传播噪声的能力越强，传播高峰来的就越快，峰值就越大，符合逻辑推理和实际观察。

④其他条件不变，当传播终止率越小，峰值越大，但传播高峰时间变化不明显。

⑤其他条件不变，当未知情者学习能力越大，峰值越大，传播高峰时间变化也不明显。

⑥曲线均未涉及当时间足够长时，三类人群的数量特征。但上一章经过理论已经证明，噪声传播者最终会消失，整个系统只有未知情交易者和传播终止者。

参考文献：

[1]应尚军， 魏一鸣， 范英，等. 基于元胞自动机的股票市场复杂性研究——投资者心理与市场行为[J].系统工程理论与实践，2003， （12）：18-24+31.

[2]应尚军，魏一鸣，范英，等.基于元胞自动机的股票市场投资行为模拟[J].系统工程学报，2001（5）：382-388.

[3]杨春霞，王杰，周涛，等.基于自组织逾渗的金融市场模型[J].科学通报，2005（20）：127-131.

[4]陈彦锟.基于无标度网络的信用违约风险传染效应研究[J].统计与决策，2010（2）：20-23.

[5]林俊波.证券市场信息传导机制与信息披露制度研究[D].浙江大学，2005.

[6]邓忆瑞.基于网络维力的信息扩散研究[D].哈尔滨工程大学， 2008.

[7]宋逢明，唐俊.中国股票市场的信息传导与流动性需求[J].经济科学，2002（2）：46-57.

[8]Kosfeld M.Rumours and markets[J].Journal of Mathematical Economics，2005，V41（6）：646-664.

[9]林春燕，朱东华.证券市场信息传播的数学模型研究[J].数学的实践与认识，2005（11）：40-45.

作者简介：

刘芷彤（1992-），女，内蒙古通辽人，大学本科，学士，华北电力大学经济与管理学院。