矩阵分离度的新上界

罗红娟，李耀堂

(云南大学 数学与统计学院，云南 昆明 650091)

矩阵分离度的新上界

罗红娟，李耀堂*

(云南大学 数学与统计学院，云南 昆明 650091)

研究了矩阵分离度的上界估计问题，得到了两个新的上界，改进了近期文献中的相应结果，并用算例对所得理论结果进行了说明。

矩阵;特征值;分离度;上界

矩阵的数值特征是矩阵的重要性质，有着广泛的应用背景，一直以来是人们研究的热点问题。1956年Mirsky在［1］中给出了矩阵特征值之间最大距离的定义，称其为矩阵A的分离度(spread)，并给出了矩阵的分离度的两个上界。由于矩阵的分离度在组合优化中的重要应用，随后被人们关注和研究，相继取得了一些有意义的结果。

记Cn×n为所有n×n阶复矩阵所构成的集合，In为单位矩阵。设A=(aij)∈Cn×n，分别记ρ(A)，r(A)，‖A‖F，trA，σ(A)为矩阵A的谱半径、秩、F－范数、迹和谱。将矩阵A进行分块为如下形式

为了方便将Ak×k，Bk×(n－k)，C(n－k)×k和D(n－k)×(n－k)分别简写为Ak，Bk，Ck和Dk。

2012年Wu，Zhang和Liao在［2］中给出了矩阵分离度的三个上界:

2013年R.Sharma，R.Kumar在［3］中对(1)，(2)两式进行了改进，给出了矩阵分离度的两个新上界:

以及

同年，Zhang，Yang在［4］中给出了矩阵分离度的三个上界，其中(7)式和(8)式分别是(4)式和(5)式的改进。

其中l=min{r(A)+1，n}，

这里我们记A(n)=A，Bn=0，Cn=0。

本文继续矩阵分离度上界的研究，给出其两个新的上界估计式，它们分别是(4)式、(7)式和(9)式的改进。

1 预备知识

本节我们给出几个重要引理，以备后用。

引理1.1［5］设A∈Cn×n，若λ1，…，λn是A的n个特征值，则

引理1.2 设A∈Cn×n，且有如(1)的分块形式，若λ1，…，λn是A的n个特征值，则

证明:当‖Bk‖F‖Ck‖F≠0，令

故A和A(k)相似，因此λ1，λ2，…，λn也是A(k)的特征值。

当‖Bk‖F‖Ck‖F=0时，不失一般性假设‖Ck‖F=0。对于矩阵Ak，Dk，由Schur酉三角化定理知，存在酉矩阵U1∈Ck×k和U2∈C(n－k)×(n－k)，使得