含线性阻尼2D g－Navier－Stokes方程的全局吸引子维数估计

姜金平，王小霞

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

含线性阻尼2D g－Navier－Stokes方程的全局吸引子维数估计

姜金平，王小霞

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

利用经典的全局吸引子维数估计方法，研究了一类含线性阻尼的非线性自治g－Navier－Stokes系统在无界区域上的全局吸引子的维数估计问题。

g－Navier－Stokes方程;全局吸引子;线性阻尼;维数估计

在流体力学和动力系统中，通常会研究该系统全局吸引子的存在性问题［1－8］，在本文中，我们研究无界区域Ω⊂R2上含线性阻尼的g－Navier－Stokes方程的全局吸引子的维数估计问题，含线性阻尼的二维g－Navier－Stokes方程的一般形式如下(见文［1，3］):

在Ω×(0，∞)上。

u(x，t)=0，在∂Ω上。

u(x，0)=u0(x)，在Ω上。

这里u(x，t)∈R2，p(x，t)∈R分别表示速度和压力，ν＞0且f=f(x)∈(L2(Ω))2，0＜m0＜g=g(x1，x2)≤M0。这儿g=g(x1，x2)是实值光滑函数。

u和p未知。当g=1时，方程(1)就是通常的二维Naνier－Stokes方程。

1 预备知识

对常数m0和M0，我们假设Poincare不等式在Ω上成立:即存在λ1＞0使得

设L2(g)=(L2(Ω))2，且其内积分别为:

(u，v)=∫Ωu·vg d x，u，v∈L2(g)和((u，v))=这里u=(u1，u2)，v=(v1，v2)∈。分别定义它们的范数为|·|=(·，·)1/2和‖·‖=((·，·))1/2。

于是由(2)可以知道，范数‖·‖等价于H10(Ω)空间的范数，设D(Ω)是Ω上由具有紧支集的C∞函数构成，设D={v∈D(Ω))2:▽·gv=0在Ω}，H为D在L2(g)上的闭包，V为D在H10(g)中的闭包。这里H和V分别具有空间L2(g)和H10(g)上的内积和范数。

由(2)可知:

定义g－Laplacian算子如下:

于是可以将(1)改写如下:

定义g－正交投影为:P:L2(g)→H，同时定义g－Stokes算子为:

(4)式在投影P的作用下，可以得到(1)的弱形式如下:

若f∈V和u0∈H，则

使得

映射bg:Vv×Vg×Vg→R定义为:

这里A:V→V'是g－Stokes算子，其定义为

B(u)=B(u，u)=P(u，▽)u 是双线性算子，其定义为B:V×V→V'

g－Stokes算子A是从空间V到V'的同构，这里B、R满足下面不等式(见文［2－4］):

命题1［1，3］设f∈L2(g)，u0(x)∈H，存在一个唯一的u(x，t)∈L∞(R+;H)∩L2(0.T;V)∩C(R+; H)(∀T＞0)，使得(6)，(7)成立。

证明:设u=u(t)，t＞0是由命题1给定的解。由于u∈L2(0.T;V)及u'∈L2(0.T;V')，则

则bg(u，u，u)=0，∀u，v∈V，于是

从而利用(3)可得