双参数C0－半群拓扑

毕伟

(延安大学 学报编辑部，陕西 延安 716000)

双参数C0－半群拓扑

毕伟

(延安大学 学报编辑部，陕西 延安 716000)

利用双参数C0－半群的概念，引入一个新的局部凸向量拓扑，并对其基本性质进行了研究。

双参数C0－半群;局部凸向量拓扑;双参数C0－半群拓扑

1 预备知识

定义1.1［1］设(X，‖·‖)为Banach空间，B(X)表示X上有界线性算子的全体。若双参数算子族{T(s，t)s，t≥0}⊆B(X)满足:

(1)T(0，0)=I;

(2)T((s1+s2)，(t1+t2))=T(s1，t1)T(s2，t2)，∀s1，s2，t1，t2≥0;

(3)映射(s，t) T(s，t)x强连续，∀s，t≥0，x∈X。

则称{T(s，t)s，t≥0}为双参数强连续C0－半群，简称双参数C0－半群。

2 主要结果

对∀s，t≥0，令Ps，t(x)=‖T(s，t)x‖，x∈X，则利用双参数C0－半群的定义，对∀x，y∈X及s，t≥0有

(1)Ps，t(x)≥0;

(2)Ps，t(x+y)≤Ps，t(x)+Ps，t(y);

(3)Ps，t(αx)=αPs，t(x)，α≥0。

事实上，Ps，t(x)=‖T(s，t，)x‖≥0;

即Ps，t(x)是X上的一拟范数，从而由拟范数族S'={Ps，t∶s，t≥0}可以诱导出一局部凸向量拓扑，记为τ。

定义2.1 由上述拟范数族S'={Ps，t∶s，t≥0}导出的X上的局部凸向量拓扑，称为双参数C0－半群拓扑，相应的局部凸线性拓扑空间记为(X，τ)。

引理2.1［2］设E是线性空间，A、B是E上的两族拟范数，那么由A确定的拓扑弱于由B确定的拓扑的充要条件是:对于每个q∈A，必存在p1，p2，…，pm∈B以及正数c1，c2，…，cm，使得对一切x∈E下式成立:

q(x)≤c1p1(x)+c2p2(x)+…+cmpm(x)。

定理2.1 由范数所诱导的局部凸向量拓扑强于X上的双参数C0－半群拓扑。

证明 因为对∀s，t≥0及x∈X，有:

Ps，t(x)=‖T(s，t)x‖≤‖T(s，t)‖·‖x‖，再根据引理2.1，得证。

定义2.2 在局部凸线性拓扑空间X中，如果对任意的Cauchy序列{xn}，{T(s，t)xn}(s，t≥0)都收敛，则称X是双参数C0－半群完备的。

定理2.2 局部凸线性拓扑空间(X，τ)是双参数C0－半群完备的。

证明 设{xn}是(X，τ)中的任意Cauchy序列，那么对于任意连续拟范数q(x)及ε＞0，集合U= {x:q(x)＜ε}构成零的一个邻域，从而必存在自然数N，使得当n，m＞N时，有(xn－xm)∈U，即q(xn－xm)＜ε，特别地，对∀Ps，t(x)∈S'有:

可知{T(s，t)xn}是Banach空间(X，‖·‖)中的Cauchy序列，从而{T(s，t)xn}必按范数收敛。再由定理2.1可得{T(s，t)xn}也是(X，τ)中的收敛列。得证。

定理2.3 设{T(s，t)s，t≥0}是非退化的双参数C0－半群，则{T(s，t)s，t≥0}诱导出的双参数C0－半群拓扑τ是分离的。……