弱T(t)-积分半群拓扑

毕 伟

(延安大学学报编辑部，陕西延安716000)

弱T(t)-积分半群拓扑

毕 伟

(延安大学学报编辑部，陕西延安716000)

利用T(t)-积分半群及连续线性泛函的概念，引入一新的局部凸向量拓扑，并对其基本性质进行研究。

T(t)-积分半群；局部凸向量拓扑；生成元；弱T(t)-积分半群拓扑

1 预备知识

设(X，‖·‖)为Banach空间，(X,‖·‖)′为X的共轭空间，A是X中的线性算子，D(A)，R(λ，A)，ρ(A)分别表示A的定义域、预解式、预解集。

定义1.1[1]设ω∈R，M≥0，{T(t),t≥0}为(X,‖·‖)上的强连续有界线性算子族，满足

(1)AT(t)x=T(t)Ax(x∈D(A),t≥0)，

(2)当λ>ω时，有λ∈ρ(A)，且

则称{S(t),t≥0}为一个T(t)-积分半群，A称为其生成元。

2 主要结果

对∀λ>ω及x′∈(X,‖·‖)′，令Pλ,x′(x)=

|x′[λR(λ,A)Lλx]|，x∈X，则利用T(t)-积分半群的定义，对∀x,y∈X及λ>ω有

(1)Pλ,x′(x)≥0;

(2)Pλ,x′(x+y)≤Pλ,x′(x)+Pλ,x′(y);

(3)Pλ,x′(αx)=αPλ,x′(x)，其中α≥0。

事实上，Pλ,x′(x)=|x′[λR(λ,A)Lλx]|≥0；

Pλ,x′(x+y)=|x′[λR(λ,A)Lλ(x+y)]| =|x′[λR(λ,A)Lλx]+x′[λR(λ,A)Lλy]| ≤|x′[λR(λ,A)Lλx]|+ |x′[λR(λ,A)Lλy]| =Pλ,x′(x)+Pλ,x′(y)；

Pλ,x′(αx)=|x′[λR(λ,A)Lλ(αx)]| =|αx′[λR(λ,A)Lλx]| =α|x′[λR(λ,A)Lλx]| =αPλ,x′(x)。

即Pλ,x′(x)是X上的一半范数，从而由半范数族S={Pλ,x′∶λ>ω}可以诱导出一局部凸向量拓扑，记为τ。

定义2.1 由上述半范数族S={Pλ,x′∶λ>ω}导出的X上的局部凸向量拓扑，称为X的关于x′的弱T(t)-积分半群拓扑，相应的局部凸线性拓扑空间记为(X,τ)。

引理2.1[2]设E是线性空间，A1，B1是E上的两族半范数，那么由A1确定的拓扑弱于由B1确定的拓扑的充要条件是：对于每个q∈A1，必存在p1,p2,…,pm∈B1以及正数c1,c2，…,cm，使得对一切x∈E下式成立：

q(x)≤c1p1(x)+c2p2(x)+…+cmpm(x)。

定理2.1 由范数所诱导的局部凸向量拓扑强于X上的弱T(t)-积分半群拓扑。

证明 因为对∀λ>ω，x′∈X′及x∈X，有：

Pλ,x′(x)=|x′[λR(λ,A)Lλx]|≤‖x′‖·

‖λR(λ,A)Lλ‖·‖x‖，

再根据引理2.1，得证。

定义2.2 在一局部凸线性拓扑空间X中，如果对任意的Cauchy序列{xn}，{x′[λR(λ,A)Lλxn]}(λ>ω)都收敛，则称X关于x′是弱T(t)-积分半群完备的。

定理2.2 局部凸线性拓扑空间(X,τ)是弱

T(t)-积分半群完备的。

证明 设{xn}是(X,τ)中的任意Cauchy序列，那么对于任意连续半范数q(x)及ε>0，集合U={x:q(x)<ε}构成零的一个环境，从而必存在自然数N，使得当n,m>N时，有(xn-xm)∈U，即q(xn-xm)<ε，特别地，对∀Pλ,x′(x)∈S有：

Pλ,x′(xn-xm)=|x′[λR(λ,A)Lλ(xn-xm)]|

=|x′[λR(λ,A)Lλxn]-x′[λR(λ,A)Lλxm]|

<ε，

可知{x′[λR(λ,A)Lλxn]}(λ>ω)是一Cauchy数列，从而必收敛。再由定义2.2可得(X,τ)是弱

T(t)-积分半群完备的。

定理2.3 设{S(t),t≥0}是非退化的T(t)-积分半群且x′≠0，则{S(t),t≥0}诱导出的弱T(t)-积分半群拓扑τ是分离的。

证明 因为{S(t),t≥0}是非退化的，即若对∀t有T(t)x=0，那么必有x=0，所以对∀x≠0有：

从而对∀x≠y，即x-y≠0，必存在一α∈(ω,+∞)使得Pα,x′(x)=3d>0，令V={x:Pα,x′(x)≤1}，则x的环境x+dV与y的环境y+dV互不相交，即弱

T(t)-积分半群拓扑τ是分离的。

关于不同的x′∈X′的弱T(t)-积分半群拓扑之间的关系，给出以下结果：

证明 因为对∀x∈X有：

再根据引理2.1，定理得证。

[1]杨录山.T(t)-积分半群[J].工科数学，1998，14(2)：14-15.

[2]夏道行，杨亚力.线性拓扑空间引论[M].上海：上海科学技术出版社，1986.

[责任编辑 贺小林]

WeakT(t)-Integrated Semigroups Topological

BI WEI

(Editorial Department of Journal of Yan′an University,Yan′an 716000,China)

By using the concepts ofT(t)-times integrated and continuous linear functional,a new locally convex vector topological was introduced,and some propositions of it were given.

T(t)-times integrated; locally convex vector topological; generator; WeakT(t)-times integrated topological

2015-03-09

毕 伟(1986—)，男，陕西米脂人，延安大学助理编辑。

O177.31

A

1004-602X(2015)02-0049-02